Binom Açılımında Katsayı Eşitliği

Selamlar! Binom açılımı ile ilgili güzel bir soruyla beraberiz. n bir pozitif tam sayı olmak üzere, verilen ifadenin açılımında iki farklı terimin katsayılarının k sayısına eşit olduğu söylenmiş. k'nın değerini bulalım.

Öncelikle ifademizi hatırlayalım. İfademiz x kare artı x, üzeri n şeklinde verilmiş.

Binom açılımındaki genel terim formülünü hatırlayalım. n'in r'li kombinasyonu çarpı, birinci terimin n eksi r'inci kuvveti, çarpı ikinci terimin r'inci kuvveti.

Şimdi x'in kuvvetlerini düzenleyelim. x karenin n eksi r'inci kuvveti, x üzeri iki n eksi iki r yapar. Bunu x üzeri r ile çarptığımızda kuvvetler toplanır.

Düzenleme sonunda x'in üssü iki n eksi r olur. Buradaki katsayımız ise n'in r'li kombinasyonudur.

Soruda bize iki farklı kuvvet verilmiş: x üzeri on dokuz eksi n ve x üzeri on altı eksi n. Bu kuvvetlerin katsayıları birbirine ve k'ya eşitmiş.

Birinci denklemden r bir değerini n cinsinden yalnız bırakalım. r bir eşittir üç n eksi on dokuz olur.

İkinci denklemden ise r iki değerini n cinsinden bulalım. r iki eşittir üç n eksi on altı olur.

Katsayıların k'ya eşit olduğunu biliyoruz. Yani n'in r birli kombinasyonu, n'in r ikili kombinasyonuna eşittir.