Binom Açılımı Olasılık Sorusu

MathematicsBinomial ExpansionOrtaYKS

Yayınlanma:

Soru

14. $(x + rac{1}{x})^{12}$ ifadesinin açılımındaki terimler, farklı kartlara yazılarak bir torbanın içerisine atılıyor ve daha sonra torbadan bir kart çekiliyor. Çekilen kartta yazan ifadede x'in kuvveti negatif olduğuna göre, katsayısının 50'den küçük olma olasılığı kaçtır? A) $ rac{1}{6}$ B) $ rac{1}{3}$ C) $ rac{1}{2}$ D) $ rac{2}{3}$ E) $ rac{5}{6}$

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Adem, binomial açılım ve olasılık içeren bu güzel soruyu birlikte çözelim.

Binom Açılımı ve Olasılık

2
Adım 2

İlk olarak elimizdeki ifadeye bakalım. x artı 1 bölü x in on ikinci kuvveti verilmiş. Bu açılımda kaç tane terim olduğunu bularak başlayalım.

$$(x + \frac{1}{x})^{12}$$
3
Adım 3

Bildiğin gibi n inci kuvvetten bir açılımda n artı bir tane terim vardır. Yani burada 12 artı 1 den toplam 13 terim bulunmaktadır. Bu bizim tüm durumlarımızın sayısıdır.

$$\text{Terim Sayısı} = 12 + 1 = 13$$
4
Adım 4

Şimdi genel terim formülünü yazarak x'in kuvvetlerini ve katsayıları inceleyelim. Genel terim, 12'nin r'li kombinasyonu çarpı x üzeri 12 eksi r çarpı 1 bölü x üzeri r şeklindedir.

$$T_{r+1} = \binom{12}{r} \cdot x^{12-r} \cdot (\frac{1}{x})^r$$
5
Adım 5

Bu ifadeyi düzenlersek, x'in toplam kuvveti 12 eksi 2 r olur. Katsayımız ise 12'nin r'li kombinasyonudur.

6
Adım 6

Soru bizden iki şartın aynı anda sağlanmasını istiyor. Birincisi x'in kuvveti negatif olmalı, ikincisi katsayı 50'den küçük olmalı.

Şartlar

1. x'in kuvveti < 0

2. Katsayı < 50

7
Adım 7

İlk şartı inceleyelim. 12 eksi 2 r küçük olmalı sıfırdan. Buradan 2 r büyük olmalı 12 ve r büyük olmalı 6 sonucuna ulaşırız.

$$12 - 2r < 0 \implies r > 6$$
8
Adım 8

r'nin alabileceği değerler 7, 8, 9, 10, 11 ve 12 olabilir. Şimdi bu değerler için ikinci şartı, yani katsayının 50'den küçük olup olmadığını kontrol edelim.

$$r \in \{7, 8, 9, 10, 11, 12\}$$
9
Adım 9

Katsayı 12'nin r'li kombinasyonuydu. Kombinasyonun simetri özelliğinden 12'nin 7'lisi, 12'nin 5'lisine eşittir. Bu değer 792'dir ve 50'den büyüktür. Yani r eşittir 7 olamaz.

$$\binom{12}{7} = \binom{12}{5} = 792 > 50 \quad (\text{Hayır})$$
10
Adım 10

r eşittir 8 için, 12'nin 8'lisi 12'nin 4'lüsüne eşittir. Hesapladığımızda 495 buluruz, bu da 50'den büyüktür.

$$\binom{12}{8} = \binom{12}{4} = 495 > 50 \quad (\text{Hayır})$$

Çözümün devamı Solvi’de

9 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Binomial Expansion
Zorluk
Orta
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Binom Açılımı Katsayı Bulma Binomial Expansion · Orta Binom Açılımı Sabit Terim Sorusu Binomial Expansion · Zor Binomial Açılım ve Katsayı Sorusu Binomial Expansion · Orta Binom Açılımı Katsayı Sorusu Binomial Expansion · Orta Binomial Expansion of $(x^3 - 2y)^5$ Binomial Expansion · Orta Binom Açılımı Katsayı Sorusu Binomial Expansion · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir