Binom Açılımı Katsayılar Problemi

MathematicsBinomial ExpansionZorYKS

Yayınlanma:

Soru

15. 2'den büyük olan her n pozitif tam sayısı için $(x+1)^n$ ifadelerinin x'in azalan kuvvetlerine göre olan açılımlarının her birinde baştan 3. terimlerin katsayılarını bir kağıda not alan Serdar, kağıttaki sayılar arasından en küçük olan 14 tanesini çarpıyor. Buna göre, Serdar'ın elde ettiği sonuç kaçtır? A) $\frac{14!}{2^{14}}$ B) $\frac{15!}{2^{15}}$ C) $\frac{14! \cdot 15!}{2^{14}}$ D) $\frac{(15!)^2}{2^{11}}$ E) $\frac{(14!)^2}{2^{14}}$

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba babanen, hadi bu soruyu birlikte çözelim. Soruda binom açılımının baştan üçüncü terimine odaklanmamız isteniyor.

Binom Açılımında Terim Katsayıları

2
Adım 2

Öncelikle x artı bir üzeri n ifadesini x'in azalan kuvvetlerine göre açtığımızda genel terim formülünü hatırlayalım.

$$(x+1)^n$$
3
Adım 3

Baştan r artı birinci terim formülü, n'in r'lisi çarpı x üzeri n eksi r çarpı bir üzeri r'dir.

$$T_{r+1} = \binom{n}{r} \cdot x^{n-r} \cdot 1^r$$
4
Adım 4

Bizden baştan üçüncü terim istendiği için, r artı birin üç, yani r'nin iki olması gerekir. Formülde r yerine iki yazalım.

5
Adım 5

Bu durumda üçüncü terimin katsayısı, ifadeyi sadeleştirdiğimizde sadece n'in ikili kombinasyonuna eşit olacaktır.

6
Adım 6

Sorumuzda n sayısının ikiden büyük bir pozitif tam sayı olduğu belirtilmiş. Yani n en az üç olabilir.

Katsayıların Dizilimi

$$\binom{n}{2}$$
7
Adım 7

n yerine sırasıyla üç, dört, beş gibi sayılar koyarak Serdar'ın kağıda yazdığı katsayıları bulalım.

$$n = 3, 4, 5, \dots$$
8
Adım 8

Kombinasyon değerleri n arttıkça büyüyecektir. Serdar çarpım için bu sayılardan en küçük on dört tanesini seçiyor.

$$\binom{3}{2}, \binom{4}{2}, \binom{5}{2}, \dots$$
9
Adım 9

En küçük on dört katsayı, n'in ilk on dört pozitif değeri için olanlardır. Üçten başlayarak on dört defa saydığımızda sıranın sonundaki değerimiz on altı olur.

10
Adım 10

Şimdi Serdar'ın elde edeceği bu çarpımı hesaplayalım. Bulduğumuz tüm kombinasyon değerlerini yan yana çarpmamız gerekiyor.

Çarpımın Hesaplanması

$$P = \binom{3}{2} \cdot \binom{4}{2} \cdot \dots \cdot \binom{16}{2}$$

Çözümün devamı Solvi’de

10 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Binomial Expansion
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Binom Açılımı Katsayı Bulma Binomial Expansion · Orta Binom Açılımı Sabit Terim Sorusu Binomial Expansion · Zor Binomial Açılım ve Katsayı Sorusu Binomial Expansion · Orta Binom Açılımı Katsayı Sorusu Binomial Expansion · Orta Binomial Expansion of $(x^3 - 2y)^5$ Binomial Expansion · Orta Binom Açılımı Katsayı Sorusu Binomial Expansion · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir