Binom açılımı ile polinom sorusu

Merhaba Zeynep, binom açılımı ve polinomları birleştiren bu güzel soruyu birlikte çözelim.

Önce elimizdeki genel ifadeye bakalım. İfademiz x kare artı x, üzeri n olarak verilmiş. Bu ifadenin binom açılımındaki baştan a'ıncı terimi p a x olarak tanımlanıyor.

Binom açılımında baştan r artı birinci terimin formülünü hatırlayalım: n'in r'li kombinasyonu çarpı birinci terim üzeri n eksi r, çarpı ikinci terim üzeri r.

Burada baştan a'ıncı terim dendiği için, r artı bir eşittir a'dan, r değerini a eksi bir olarak almalıyız.

Şimdi bize verilen ilk bilgiyi kullanalım. P üç x polinomunun x eksi bir ile bölümünden kalan yirmi birmiş. Bu, p üç bir eşittir yirmi bir demektir.

p a x tanımında a yerine üç koyarsak, baştan üçüncü terimi arıyoruz demektir. Yani r eşittir iki olur.

Formülde r yerine iki yazarak p üç x polinomunu bulalım. n'in ikili kombinasyonu çarpı x karenin n eksi ikinci kuvveti çarpı x'in karesi.

Bu polinomda x yerine bir yazdığımızda sonucun yirmi bir çıkması gerekiyor. x yerine bir yazalım.

Bir sayısının tüm kuvvetleri birdir, dolayısıyla n'in ikili kombinasyonu direkt olarak yirmi bire eşittir.

Hangi n değeri için n'in ikili kombinasyonu yirmi bir yapar? n çarpı n eksi bir bölü iki eşittir yirmi bir ise, n çarpı n eksi bir eşittir kırk ikidir. Buradan n eşittir yedi buluruz.