Bileşke Fonksiyonların Bire Birliği

Merhaba! Bugün fonksiyonlarda bileşke ve bire birlik üzerine güzel bir analiz sorusu çözeceğiz. Soruda doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlı f ve g fonksiyonları verilmiş ve bunların bileşkesi olan f bileşke g'nin bire bir olduğu söylenmiş.

Buna göre üç tane ifademiz var. Hangilerinin her zaman doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Önce bire birlik tanımını hatırlayalım. Bir bileşke fonksiyonun bire bir olması g fonksiyonu hakkında bize ne söyler?

Eğer f bileşke g bire birse, her farklı x bir ve x iki değeri için sonuçlar farklıdır. Eğer g fonksiyonu bire bir olmasaydı, yani g x bir ve g x iki değerleri birbirine eşit çıksaydı, f bu değerleri aynı yere götüreceği için bileşke de bire bir olamazdı.

Dolayısıyla, bileşke fonksiyonun bire bir olması için içteki fonksiyon olan g nin mutlak suretle bire bir olması gerekir. Yani ikinci öncülümüz her zaman doğrudur.

Peki ya f fonksiyonu? f fonksiyonunun bire bir olması zorunlu mu? Bir karşıt örnek vererek bunu inceleyelim.

g x eşittir x artı bir olsun, bu doğal sayılarda bire birdir. f x ise mutlak değer içinde x eksi bir olsun. f burada bire bir değildir çünkü f sıfır ve f iki değerleri aynı sonucu verir. Ancak bileşkeye baktığımızda sonuç hep x çıkar.