Bileşke Fonksiyon ve Türev İlişkisi

Merhaba arkadaşlar. Bu videomuzda deneme sınavından, türev ve polinom kavramlarını birleştiren seçici ve güzel bir soruyu ele alacağız.

Soruda f fonksiyonunun ikinci dereceden bir polinom, yani grafiğinin bir parabol olduğu belirtilmiş. Ayrıca g fonksiyonu x kare artı 4 olarak verilmiş.

İlk bilgiye göre; f bileşke g fonksiyonunun x eşittir 2 apsisli noktasında yerel ekstremumu var. Yerel ekstremum noktalarında birinci türev sıfıra eşittir.

Bileşke fonksiyonun türevini zincir kuralı kullanarak açalım: En dıştaki fonksiyonun türevinde iç taraf, çarpı içinin türevi eşittir sıfır.

Şimdi bu değerleri hesaplayalım. g fonksiyonunda x yerine 2 yazdığımızda, ikinin karesi dört artı dörtten g iki değeri sekiz çıkar.

g fonksiyonunun türevi ise 2x'tir. Türevde yerine koyduğumuzda g'nin türevinde 2 değeri 4 olur.

Bulduğumuz bu sayısal değerleri türev denkleminde yerlerine yerleştirelim.

Bu işlemin sonucunun sıfır çıkması için tek olasılık f'in türevinde sekizin sıfır olmasıdır. İlk önemli ipucumuzu bulduk.

Sıra geldi ikinci eşitsizliğe. f çarpı g fonksiyonunun x eşittir 8 apsisli noktasında başka bir ekstremumu olduğu söyleniyor.

Çarpımın türevi kuralına göre açarsak; f'in türevinde sekiz çarpı g sekiz, artı f sekiz çarpı g'nin türevinde sekiz işleminin sıfır olması gerekir.

Bir önceki aşamada f'in türevinde sekizin sıfır olduğunu kanıtlamıştık, bunu hatırlayıp kullanalım.

Dolayısıyla çarpımın ilk kısmı tamamen sıfır olur ve denklemi çok daha basit bir hale getirir.

Baştaki sıfırı denklemden gönderelim, elimizde sadece f sekiz çarpı g'nin türevinde sekiz eşittir sıfır kaldı.