Bileşke Fonksiyon Limit

MathematicsFunctions and LimitsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

AYT / Matematik

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x - 1, & x < 1 \\ 3x - 4, & x \geq 1 \end{cases}$

$g(x) = \begin{cases} x^3 - 1, & x < 2 \\ 2x + 2, & x \geq 2 \end{cases}$

fonksiyonları veriliyor.

$\lim_{x \to a} (g \circ f)(x)$

limiti olmadığına göre a'nın alabileceği değerler çarpımı kaçtır?

A) $-2$

B) $-1$

C) $0$

D) $2$

E) $3$

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba arkadaşlar. Bu soruda verilen parçalı g ve f fonksiyonları için, g bileşke f fonksiyonunun x a'ya giderken limitinin olmadığı durumları inceleyeceğiz. Limit yoksa, a'nın alabileceği değerlerin çarpımını bulmamız isteniyor.

Soru Analizi

Limit $\lim_{x \to a} (g \circ f)(x)$ nerede tanımsız olabilir?

2
Adım 2

Öncelikle g bileşke f'nin sürekliliğini veya limitini bozabilecek 'kritik adayları' belirleyelim. Birinci adayımız, içteki fonksiyon f(x)'in parçalandığı nokta olan x eşittir bir.

1. Aday: f(x)'in kritik noktası

$$x = 1$$
3
Adım 3

Şimdi x, 1'e sağdan ve soldan yaklaşırken limit değerlerini kontrol edelim. Önce soldan bakalım.

$$\lim_{x \to 1^-} g(f(x))$$
4
Adım 4

x, 1'den küçükken f(x), x kare eksi 2x eksi 1 kuralını kullanır. 1'i yerine koyarsak, 1'in karesi eksi 2 eksi 1'den sonuç eksi 2 olur.

5
Adım 5

Şimdi bu eksi 2 değerini g fonksiyonuna koymalıyız. g fonksiyonu x küçüktür 2 için tanımlı, yani eksi 2 bu aralıkta. O halde eksi 2'nin küpü eksi 1 işlemini yaparız.

$$g(-2) = (-2)^3 - 1 = -8 - 1 = -9$$
6
Adım 6

Şimdi sağdan limite bakalım. x, 1'e sağdan giderken f(x), 3x eksi 4 kuralını kullanır. 1 koyarsak eksi 1 buluruz.

$$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3(1) - 4 = -1$$
7
Adım 7

Bulduğumuz eksi 1 değerini g'ye koyalım. Eksi 1 de 2'den küçük olduğu için yine üstteki kuralı kullanırız. Eksi 1'in küpü eksi 1, sonuç eksi 2 yapar.

$$g(-1) = (-1)^3 - 1 = -2$$
8
Adım 8

Gördüğünüz gibi soldan limit eksi 9, sağdan limit eksi 2 çıktı. Limitler eşit değil. Demek ki x eşittir 1 noktasında limit yok. a, 1 olabilir.

9
Adım 9

İkinci ihtimal: İçteki fonksiyonun sonucu, dıştaki fonksiyon g'nin koptuğu noktaya denk gelirse limit olmayabilir. g fonksiyonu x eşittir 2 noktasında parçalanıyor.

2. Adaylar: g(x)'in kritik noktasına takılanlar

$$g(x) \text{ kritik nokta: } x=2$$

Kontrol etmemiz gereken durum:

$$f(x) = 2$$
10
Adım 10

Öncelikle g(x)'in 2 noktasında sürekli olup olmadığına bakalım. 2'nin solunda limit 7, sağında ise 6. Yani g, 2 noktasında kopuk. Bu yüzden f(x)'in 2 olduğu yerler potansiyel tehlike demek.

$$\lim_{u \to 2^-} g(u) = 2^3 - 1 = 7 \quad \neq \quad \lim_{u \to 2^+} g(u) = 2(2)+2 = 6$$
11
Adım 11

O halde f(x)'i 2 yapan x değerlerini bulalım. İlk parçayı inceleyelim: x kare eksi 2x eksi 1 eşittir 2.

$$x^2 - 2x - 1 = 2 \quad (x < 1)$$
12
Adım 12

Denklemi düzenlersek x kare eksi 2x eksi 3 eşittir 0 olur. Çarpanlarına ayırırsak kökler eksi 1 ve 3 gelir.

13
Adım 13

Ancak bu parça x küçüktür 1 için geçerli. Bu yüzden sadece x eşittir eksi 1'i alıyoruz.

Çözümün devamı Solvi’de

12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Functions and Limits
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Fonksiyon ve Limit Sorusu Functions and Limits · Zor Doğrusal Fonksiyon ve Limit Problemi Functions and Limits · Zor c sayısının alabileceği değerler toplamı Functions and Limits · Zor Doğrusal Fonksiyon ve Limit Sorusu Functions and Limits · Orta Doğrusal Fonksiyonların Karşılaştırılması Functions and Limits · Orta Fonksiyon ve Limit Analizi Functions and Limits · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir