Bestimmung von Integrationsgrenzen anhand eines Graphen
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Lösungsblatt zu Aufgabe 2.3:
Gegeben ist das Schaubild $K_g$ einer Funktion $g$. Markieren Sie im Schaubild zwei Werte für $u$ mit $u \ge -1$, welche die Gleichung $\int_{-1}^{u} g(x) \, dx = 11$ näherungsweise lösen.
Erläuterung des Vorgehens:
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt ein Koordinatensystem mit dem Graphen einer periodischen Funktion $K_g$. Die x-Achse ist skaliert von -2 bis 7, die y-Achse von -1 bis 4. Der Graph kreuzt die x-Achse bei ca. -1,5, bei 4 und bei 6. Der Hochpunkt liegt bei $(0,5 | 3,5)$ und der Tiefpunkt bei $(5 | -1)$. Ein Gitternetz ist hinterlegt, wobei jede Kästcheneinheit einem Wert von 1 entspricht. Das Schaubild dient zur Schätzung von Flächeninhalten (Integralen) durch Kästchenzählen.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir zwei Werte für u finden, die größer oder gleich minus eins sind, sodass das Integral der Funktion g von minus eins bis u etwa elf ergibt.
Bestimmung des Integrals durch Kästchenzählen
Wir interpretieren das Integral als den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse. Ein Kästchen im Gitter entspricht genau einer Flächeneinheit, da die Einheiten auf den Achsen jeweils ein Kästchen breit sind.
Beginnen wir bei minus eins und zählen die Kästchen unter dem positiven Bogen des Graphen. Zwischen minus eins und null haben wir etwa drei Kästchen.
Zwischen null und eins kommen etwa dreieinhalb Kästchen hinzu. Zwischen eins und zwei sind es etwa drei, und zwischen zwei und drei etwa zwei Kästchen.
Addieren wir diese Werte grob: drei plus dreieinhalb plus drei plus zwei. Das ergibt bereits elf komma fünf. Der Wert elf wird also kurz vor der x-Stelle drei erreicht.
Unserer Schätzung nach liegt die erste Lösung also ungefähr bei u gleich drei.
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