Bestimmung von Integrationsgrenzen anhand eines Graphen
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Lösungsblatt zu Aufgabe 2.3:
Gegeben ist das Schaubild $K_g$ einer Funktion $g$. Markieren Sie im Schaubild zwei Werte für $u$ mit $u \ge -1$, welche die Gleichung $\int_{-1}^u g(x) \, dx = 11$ näherungsweise lösen.
Erläuterung des Vorgehens:
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit einer Kurve $K_g$. Die x-Achse ist skaliert von $-1$ bis $7$, die y-Achse von $-1$ bis $4$. Die Kurve beginnt links bei ca. $(-1.5, 0.5)$, steigt an zu einem Maximum bei ca. $(0.5, 3.5)$, fällt dann ab und schneidet die x-Achse bei $x=4$. Zwischen $x=4$ und $x=6.5$ verläuft die Kurve unterhalb der x-Achse (Minimum bei ca. $5.2, -0.8$) und steigt danach wieder steil an. Das Gitter zeigt Quadrate mit Seitenlänge 1.
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir zwei Werte für u finden, die größer oder gleich minus eins sind, sodass das Integral der Funktion g von minus eins bis u näherungsweise elf ergibt.
Bestimmung des Integrals
Das Integral entspricht der orientierten Fläche zwischen dem Graphen und der x Achse. Wir beginnen bei x gleich minus eins und zählen die Kästchen unter der Kurve.
Schauen wir uns zuerst den positiven Bereich von minus eins bis etwa drei komma acht an. Wir können die Kästchen einfach abzählen.
In dem Intervall von minus eins bis null haben wir etwa drei Kästchen. Von null bis eins sind es fast vier, und von eins bis zwei sind es etwa drei komma fünf. Wenn wir diese Flächen addieren, erreichen wir den Wert elf ungefähr bei u gleich drei komma acht.
Das ist unser erster Wert. Was passiert, wenn wir weiter integrieren? Ab x gleich drei komma acht wird der Graph negativ, das heißt, der Wert des Integrals sinkt wieder.
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