Bestimmung von Integralgrenzen anhand eines Graphen
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Gegeben ist das Schaubild $K_g$ einer Funktion $g$. Markieren Sie im Schaubild zwei Werte für $u$ mit $u \ge -1$, welche die Gleichung $$\int_{-1}^{u} g(x) \, dx = 11$$ näherungsweise lösen.
Erläuterung des Vorgehens:
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit dem Graphen einer Funktion g, bezeichnet als $K_g$. Die x-Achse reicht von etwa -2 bis 8, die y-Achse von -2 bis 4. Die Kurve g(x) ist eine oszillierende Funktion (ähnlich einer Sinuskurve). Nullstellen befinden sich etwa bei x = -1,5, x = 3,7 und x = 6,3. Der Scheitelpunkt im positiven Bereich liegt etwa bei (0,5 | 3,5). Der Tiefpunkt liegt etwa bei (5 | -1). Das Gitter zeigt Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 Einheit.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir zwei Werte für u finden, die größer oder gleich minus eins sind, sodass das Integral von minus eins bis u über die Funktion g näherungsweise elf ergibt.
Bestimmung des Integrals durch Flächenzählung
Das Integral entspricht der orientierten Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. Wir beginnen bei x gleich minus eins und zählen die Kästchen unter der Kurve.
Lassen Sie uns die Kästchen im positiven Bereich von minus eins bis etwa drei komma sieben zählen. Ein großes Gitterquadrat entspricht einer Flächeneinheit von eins.
Wenn wir die Kästchen grob abschätzen: Im Intervall von minus eins bis null haben wir etwa zwei Einheiten. Von null bis zwei sind es etwa sieben Einheiten. Bis zur Nullstelle bei etwa drei komma sieben kommen nochmals etwa zwei komma fünf Einheiten hinzu.
Die Summe bis zur ersten Nullstelle beträgt also etwa elf komma fünf. Da wir den Wert elf suchen, muss die obere Grenze u etwas vor der Nullstelle liegen.
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