Bestimmung oberer Integrationsgrenzen anhand eines Funktionsgraphen
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Lösungsblatt zu Aufgabe 2.3:
Gegeben ist das Schaubild $K_g$ einer Funktion $g$. Markieren Sie im Schaubild zwei Werte für $u$ mit $u \geq -1$, welche die Gleichung $\int_{-1}^{u} g(x) \, dx = 11$ näherungsweise lösen.
Erläuterung des Vorgehens:
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Ein Koordinatensystem mit einer Kurve $K_g$. Die x-Achse reicht von etwa -2 bis 7, die y-Achse von -2 bis 4. Das Gitter hat Einheitsabstände. Die Kurve $K_g$ schneidet die x-Achse bei ca. $x = -1.5$, $x = 4$ und $x = 6.5$. Ein lokales Maximum liegt bei etwa $(1, 3.5)$ und ein lokales Minimum bei etwa $(5.5, -0.8)$. Das Gitter ermöglicht das Abschätzen von Kästchen zur Flächenberechnung unter der Kurve.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir zwei Werte für u finden, die größer oder gleich minus eins sind, sodass das Integral von g von x von minus eins bis u etwa elf ergibt.
Bestimmung des Integrals durch Flächeninhalt
Das Integral entspricht der Bilanz der Flächeninhalte zwischen dem Graphen und der x-Achse. Wir beginnen bei x gleich minus eins.
Schätzen wir zuerst den positiven Flächeninhalt unter dem Berg zwischen x gleich minus eins und x gleich vier.
Durch das Zählen der Kästchen sehen wir: Zwischen minus eins und vier haben wir eine Basis von fünf Einheiten und eine Höhe von fast vier. Das ergibt eine Fläche von etwa elf bis zwölf Kästchen.
Bei x gleich vier ist die Fläche also schon nah an elf. Ein Wert für u wäre also etwa drei komma acht oder vier.
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