Bestimmung der Parameter einer Exponentialfunktion
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1.6 Das Schaubild mit der Gleichung $y = a \cdot e^x + b$ schneidet die y-Achse in $S(0|-1)$ und ihre waagrechte Asymptote hat die Gleichung $y = -3$.
Bestimmen Sie a und b. (4 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir die Parameter a und b einer Exponentialfunktion bestimmen. Gegeben sind die Funktionsgleichung, der Punkt an der y-Achse und die waagrechte Asymptote.
Parameterbestimmung
Zuerst betrachten wir die waagrechte Asymptote. Die Funktionsgleichung lautet y gleich a mal e hoch x plus b.
Wenn x gegen minus Unendlich strebt, geht der Term e hoch x gegen Null. Somit nähert sich der Graph der Geraden y gleich b an.
Da die waagrechte Asymptote bei y gleich minus drei liegt, können wir b direkt ablesen.
Wir halten fest: b ist gleich minus drei. Wir können diesen Wert bereits in unsere Funktionsgleichung einsetzen.
Jetzt nutzen wir die Information über den Schnittpunkt mit der y-Achse, den Punkt S mit x gleich Null und y gleich minus eins.
Bestimmung von a
Schnittpunkt mit der y-Achse: S(0 | -1)
Wir setzen die Koordinaten von S in die Gleichung ein. Also minus eins für y und null für x.
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