Bestimmung der oberen Integrationsgrenze durch Flächeninhaltsbetrachtung
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Lösungsblatt zu Aufgabe 2.3:
Gegeben ist das Schaubild $K_g$ einer Funktion $g$.
Markieren Sie im Schaubild zwei Werte für $u$ mit $u \ge -1$, welche die Gleichung
$$\int_{-1}^{u} g(x) dx = 11$$
näherungsweise lösen.
Erläuterung des Vorgehens:
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2.3 | Ermittlung der Werte von $u$
Befindet sich das Schaubild der Funktion $f$ unterhalb der x-Achse, liefert das Integral einen negativen Wert.
Befindet es sich oberhalb der x-Achse, liefert das Integral einen positiven Wert.
Aufgrund der Skalierung in der Skizze gilt:
1 FE = 1 Kästchen.
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Es sind zwei Koordinatensysteme abgebildet. Im oberen System ist der Graph $K_g$ einer Funktion $g$ dargestellt. Die x-Achse reicht von ca. -2 bis 8, die y-Achse von -1 bis 4. Zwischen $x = -1$ und $x = 2$ ist eine Fläche dunkelgrau schattiert. Zwischen $x = 2$ und $x ≈ 3.5$ ist eine Fläche vertikal gestreift schattiert. Eine weitere Fläche liegt unter der x-Achse zwischen $x ≈ 3.5$ und $x ≈ 6.5$, ebenfalls dunkelgrau. Ein kleiner Teil oberhalb der x-Achse ab $x ≈ 6.5$ ist wieder gestreift. Im unteren Bild ist eine Lösungsskizze zu sehen, bei der Flächeneinheiten (FE) durch Kästchenzählen bestimmt werden, mit Markierungen für $u_1 ≈ 2,9$, $u_2 ≈ 5,4$ und $u_3 ≈ 6,3$.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir zwei Werte für u finden, die größer oder gleich minus eins sind, sodass das Integral von g von x über das Intervall von minus eins bis u gleich elf Einheiten ist.
Aufgabe 2.3: Ermittlung von u
Ein Integral entspricht der Bilanz der Flächen zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse. Flächen oberhalb der Achse zählen positiv, Flächen unterhalb zählen negativ.
Konzept: $1 \text{ Kästchen} = 1 \text{ Flächeneinheit (FE)}$
Beginnen wir mit dem Zählen der Kästchen ab minus eins. Zwischen minus eins und null haben wir etwa drei Kästchen. Zwischen null und zwei kommen etwa sechs weitere dazu. Bis x gleich zwei haben wir also etwa neun Flächeneinheiten.
Flächenbilanz ab $x = -1$
Wir brauchen insgesamt elf. Wenn wir bis etwa x gleich zwei komma neun weitergehen, kommen noch zwei Kästchen hinzu. Das ist unser erster Schätzwert u-eins.
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