Belirsiz İntegral Hesaplama

Merhaba Aygen, seninle birlikte bu integral sorusunu adım adım çözelim.

Sorumuzda karekök içerisinde bir artı karekök x, bölü x kare ifadesinin integralini almamız isteniyor.

İntegrali daha kolay çözebilmek için değişken değiştirme yöntemini kullanacağız. Karekök içindeki ifadeye odaklanalım.

Bir artı karekök x ifadesine u diyelim.

Şimdi her iki tarafın türevini alarak de x ile de u arasındaki ilişkiyi bulalım.

Sabit sayının türevi sıfırdır, x üzeri bir bölü ikinin türevi ise başa çarpan olarak geçer ve üs bir azalır.

Buradan de x ifadesini yalnız bırakırsak, de x eşittir iki karekök x çarpı de u olur.

Ancak orijinal integralimizde hala paydada bir x kare terimi var. Bu dönüşüm biraz karmaşıklaşabilir. Gelin daha akıllıca bir dönüşüm deneyelim.

İfadeyi basitleştirmek için karekök içindeki ifadenin tamamına u kare diyelim.

Birinci denemede olduğu gibi türev alalım. Bir bölü iki karekök x de x eşittir iki u de u olur.

Buradan de x bölü karekök x ifadesini elde edebiliriz ancak soruda paydada x kare var. Bu da demek oluyor ki belki de integral içindeki ifadeyi parçalamalıyız.

İntegral içine tekrar bakalım. Bir artı karekök x bölü x kare. Belki de değişkeni u eşittir bir artı karekök x olarak tutup de x i u cinsinden yazmak yerine, her şeyi x in kuvvetleri şeklinde düzenlemeliyiz.

Aslında bu bir binom integrali türüdür. Fakat TYT ve AYT seviyesinde daha doğrudan bir yerine koyma bekleriz. Let's try u equals square root x.