Belirli İntegral ve Türev İlişkisi

Merhaba Zekiye, seninle birlikte bu integral sorusunu adım adım çözelim. İlk olarak bize verilen denklemleri inceleyelim.

Buradaki birinci integralde parantez içindeki sekiz eksi iks ifadesi dikkatimizi çekiyor. Bu integralde değişken değiştirme yöntemi uygulayalım.

Her iki tarafın diferansiyelini alırsak, de u eşittir eksi de iks elde ederiz. Buradan de iks yerine eksi de u yazabiliriz.

Şimdi de integralin sınırlarını yeni değişkenimize göre belirleyelim. Alt sınırımız olan iks eşittir iki için, u değerimiz sekiz eksi ikiden altı olur.

Üst sınırımız olan iks eşittir altı için ise, u değerimiz sekiz eksi altıdan iki bulunur.

Bu değerleri integralde yerine yazalım. Yeni integralimiz, alt sınır altıdan üst sınır ikiye kadar, u çarpı ef türev u çarpı eksi de u eşittir on iki şeklinde olur.

Buradaki eksi işaretini integralin sınırlarını takla attırmak için kullanabiliriz. Böylece sınırlarımız altıdan ikiye değil, ikiden altıya olur.

Belirli integralde değişkenin isminin bir önemi yoktur. Dolayısıyla u yerine tekrar iks yazarsak, ikiden altıya kadar iks çarpı ef türev iks de iks integralinin on ikiye eşit olduğunu buluruz.

Şimdi bulduğumuz bu önemli sonucu ve diğer verilen integrali bir araya getirelim. Bunun için çarpımın türevi formülünü hatırlayalım.

iks çarpı ef iks ifadesinin türevi, birincinin türevi çarpı ikinci artı ikincinin türevi çarpı birinci, yani ef iks artı iks çarpı ef türev iks eşittir.

Bu eşitliğin her iki tarafının ikiden altıya kadar belirli integralini alalım.