Belirli İntegral ve Alan Hesabı
Yayınlanma:
27. Birimkareli bir kâğıt üzerindeki dik koordinat düzlemine [0, 6] aralığında tanımlı olan f ve g fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki gibi çizilmiştir.
[Grafik]
Kahverengi renkli bölgelerin alanları 2 birimkare ve 5 birimkare, sarı renkli bölgenin alanı ise 14 birimkaredir.
$$\int_{0}^{6} (f(x) - g(x)) dx = 3$$
olduğuna göre $$\int_{0}^{2} f(3x) dx$$ integralinin değeri kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9
Soruda görsel içerik var: Koordinat düzleminde [0, 6] aralığında tanımlı iki fonksiyon grafiği verilmiştir. Mavi eğri f(x), siyah eğri g(x)'i temsil eder. Grafik, x ekseniyle kesişen bölgeleri içerir. Kahverengi ile boyanmış iki ayrı bölge vardır (alanları 2 ve 5 birimkare). Sarı ile boyanmış bölge f ve g eğrilerinin altında, x ekseninin üstünde kalan alandır (alanı 14 birimkare). Izgara yapısı birimkare olarak belirtilmiştir.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam! Bu soruda integraller ile kapalı bölgelerin alanları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz.
İntegral ve Alan İlişkisi
Grafiğe baktığımızda f ve g fonksiyonlarının sıfır ile altı aralığında tanımlı olduğunu görüyoruz. Grafikler x eşittir bir ve x eşittir dört noktalarında kesişiyorlar.
Şimdi grafikteki kapalı bölgeleri harflendirerek ifade edelim. Sıfır bir aralığına A, bir dört aralığına B ve dört altı aralığına C diyelim.
Soruda verilenlere göre kahverengi bölgelerin alanları iki ve beş birimkareymiş. Yani A eşittir iki ve C eşittir beş diyebiliriz.
A = 2
C = 5
Sarı bölge ise g fonksiyonunun altında kalan toplam alan olup on dört birimkare olarak verilmiş.
S = 14
Buna göre sıfırdan altıya kadar g nin altında kalan toplam alanı integralle ifade edersek bu değer on dörttür.
Şimdi bize verilen o önemli eşitliği kullanalım. Sıfırdan altıya kadar f eksi g integrali üç olarak verilmiş.
İntegralin lineerlik özelliğini kullanarak bu ifadeyi ayıralım.
Az önce g fonksiyonunun altında kalan sarı alanın on dört olduğunu bulmuştuk. Hemen yerine yazalım.
Buradan eksi on dördü karşıya atarsak, f fonksiyonunun sıfır ile altı arasındaki integralinin on yedi olduğunu buluruz.
Şimdi bizden istenen integrale odaklanalım. Sıfırdan ikiye kadar f üç x integralinin değerini bulmamız gerekiyor.
Çözümün devamı Solvi’de
11 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
