Belirli İntegral ile Alan İlişkisi

MathematicsIntegrationOrtaYKS

Yayınlanma:

Soru

Grafikte verilen boyalı bölgenin alanı 8 birimkaredir. Buna göre, $$\int_0^2 x \cdot f'(x) dx$$ ifadesinin değeri kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

Soruda görsel içerik var: Bir koordinat düzleminde y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafik (0, f(0)) noktasından başlar ve x=2 noktasında (2, 10) noktasına ulaşır. x ekseni, y ekseni ve x=2 doğrusu ile y=f(x) eğrisi arasında kalan bölge yeşil renkle boyanmıştır. x=2 noktasında fonksiyonun değeri 10'dur.

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Selam Aysel, seninle birlikte bu integral sorusunu adım adım çözelim.

İntegral ve Alan İlişkisi

2
Adım 2

Grafikte f fonksiyonunun altında ve x ekseniyle sınırlı bölgenin alanı sekiz birim kare olarak verilmiş. Bu alanı integral diliyle ifade edelim.

$$\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 8$$
3
Adım 3

Bizden istenen ifade ise sıfırdan ikiye x çarpı f türev x'in integralidir. Bu integrali çözmek için kısmi integrasyon yöntemini kullanacağız.

$$I = \int_{0}^{2} x \cdot f'(x) \, dx$$
4
Adım 4

Kısmi integrasyon formülümüzü hatırlayalım: u çarpı v'nin türevi, u v eksi v'nin integrali şeklindedir. Burada x e u, f türev x de x e d v diyelim.

Kısmi İntegrasyon Formülü

$$u = x \implies du = dx$$
$$dv = f'(x) dx \implies v = f(x)$$
$$\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du$$
5
Adım 5

Şimdi bu değerleri integralimizde yerine koyalım. x çarpı f x ifadesini sıfırdan ikiye kadar sınırlandıracağız ve bundan f x'in sıfırdan ikiye integralini çıkaracağız.

$$I = [x \cdot f(x)]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} f(x) \, dx$$
6
Adım 6

Köşeli parantez içindeki ifadeyi sınır değerlerine göre açalım. Önce iki, sonra sıfır yazıyoruz.

Çözümün devamı Solvi’de

5 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Integration
Zorluk
Orta
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Belirli İntegral Hesabı Integration · Orta İntegral ile Bölge Alanı Oranı Integration · Zor Dik Koordinat Düzleminde Alan Hesabı Integration · Orta Belirsiz İntegral Hesaplama Integration · Orta İki Eğri Arasındaki Alan Integration · Orta Belirsiz İntegral Hesaplama Integration · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir