AYT 2021 Polynomial Inequality Question
Yayınlanma:
14. Gerçel katsayılı ve dördüncü dereceden olan $P(x)$ polinomu, her $x$ gerçel sayısı için $P(x) ≥ x$ eşitsizliğini sağlıyor. $P(1) = 1$, $P(2) = 4$, $P(3) = 3$ olduğuna göre, $P(4)$ kaçtır? A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Kadim, seninle birlikte bu harika AYT 2021 polinom sorusunu adım adım çözelim.
AYT 2021 Polinom Sorusu
Gerçel katsayılı, 4. dereceden $P(x)$ polinomu için:
- Her $x$ gerçel sayısı için $P(x) \geq x$
- $P(1) = 1$, $P(2) = 4$, $P(3) = 3$
Bizden istenen: $P(4)$ değeri.
Soruyu çözmek için çok güçlü bir yöntem olan yardımcı fonksiyon tanımlama tekniğini kullanalım.
Yardımcı Polinom Tanımlama
Her $x$ için $P(x) \geq x$ eşitsizliğini daha rahat incelemek için yeni bir $Q(x)$ polinomu tanımlayalım:
Q x polinomunu, P x eksi x olarak seçiyoruz.
P x polinomu dördüncü dereceden olduğu için, Q x de dördüncü dereceden bir polinomdur.
$"P(x)$ dördüncü dereceden bir polinom olduğundan, $Q(x)$ de dördüncü derecedendir."
Şimdi soruda verilen eşitsizliği Q x cinsinden yazalım.
Eşitsizliğin Yorumlanması
X'i sol tarafa atarsak, P x eksi x büyük eşittir sıfır elde ederiz.
Bu da tanımladığımız Q x polinomunun her x gerçel sayısı için daima sıfırdan büyük veya eşit olduğu anlamına gelir.
Şimdi elimizdeki belirli değerleri Q x üzerinde test edelim. İlk olarak P bir eşittir bir bilgisini kullanalım.
Özel Değerlerin İncelenmesi
P bir yerine bir yazdığımızda, Q bir değerini sıfır olarak buluruz.
Benzer şekilde, P üç eşittir üç bilgisini de kullanalım.
P üç yerine üç yazdığımızda, Q üç değerini de sıfır olarak buluruz.
Daima sıfırdan büyük veya eşit olan bir polinomun sıfır olduğu noktalar çok özeldir.
Çift Katlı Kök Analizi
Daima $Q(x) \geq 0$ olduğunu biliyoruz.
Eğer $Q(1) = 0$ ve $Q(3) = 0$ ise, bu noktalar $Q(x)$ grafiğinin x-eksenine teğet olduğu noktalardır.
Grafik x ekseninin altına inemediği için, bu kökler kesinlikle çift katlı kök olmak zorundadır.
"Yani, $x=1$ ve $x=3$ noktaları çift katlı köklerdir."
Q x dördüncü dereceden bir polinom olduğuna göre, bu iki çift katlı kök polinomun tüm kök yapısını belirler.
"Derecesi 4 olan polinomumuzun kökleri $x=1$ (çift katlı) ve $x=3$ (çift katlı) olmalıdır."
Çözümün devamı Solvi’de
14 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
