Asal Sayılar ve Üslü İfadeler

Selamlar! Bugün asal sayılar ve üslü ifadeler içeren oldukça güzel bir soruyu birlikte çözeceğiz. Öncelikle verilen ifadeyi düzenleyerek başlayalım.

Soru bizden a, b ve c'nin birbirinden farklı asal sayılar olduğunu belirtiyor. Verilen kesirli ifadeyi daha temel asal çarpanlar cinsinden yazalım.

Dokuz yerine üç üzeri iki, on yerine iki çarpı beş, ve altı yerine iki çarpı üç yazarsak ifademiz şu hale gelir.

Üsleri dağıtalım. Pay kısmında üç üzeri iki a, iki üzeri b artı c ve beş üzeri b artı c elde ederiz. Paydada ise iki üzeri b, üç üzeri b ve beş üzeri a artı c yer alıyor.

Şimdi tabanlar aynı olan ifadeleri bölelim. Üsleri birbirinden çıkaracağız.

İki tabanına bakalım: b artı c'den b çıkarsa sadece c kalır. Üç tabanında iki a'dan b çıkar. Beş tabanında ise b artı c'den a artı c çıkınca b eksi a kalır.

Bu ifadenin en küçük tam sayı değeri olması isteniyor. İfadenin bir tam sayı olabilmesi için tüm üslerin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.

Yani b, a'dan büyük veya eşit olmalı; aynı zamanda iki a da b'den büyük veya eşit olmalı. Şartımız: a küçük eşittir b, o da küçük eşittir iki a.

Şimdi birbirinden farklı a, b ve c asal sayıları için en küçük tam sayı sonucunu arayalım. c zaten pozitif bir kuvvet, sonucu küçültmek için en küçük asal sayıları seçmeliyiz.

a eşittir iki olsun. O zaman b, iki ile dört arasında bir asal sayı olmalı. Bu durumda b sadece üç olabilir.

c sayısı a ve b'den farklı bir asal sayı olmalı. İfadeyi en küçük tutmak için c'yi de en küçük seçelim, yani c eşittir beş olsun.