Asal Sayılar ve Faktöriyel Problemi

Merhaba! Bu soruda p bir asal sayı ve faktöriyelli ifadelerin tam sayı olup olmama durumlarına göre p'nin alabileceği değerleri bulacağız.

İlk olarak bize bir ifadenin tam sayı olmadığı bilgisi verilmiş. Bu, paydaki p çarpanı sayısının paydadaki p'nin kuvvetinden küçük olduğu anlamına gelir.

İkinci bilgide ise ifadenin bir tam sayı olduğu söyleniyor. Yani paydaki p çarpanı sayısı p kareye tam bölünüyor.

Bir faktöriyel içerisindeki asal çarpan sayısını Legendrer yöntemiyle, yani sürekli bölerek bulabiliriz.

İlk şartımızı inceleyelim. Yirmi iki faktöriyel ve on beş faktöriyel çarpımındaki p sayısı üçün altında olmalı.

Eğer p büyük bir asal sayıysa, örneğin on birden büyükse, bu sayıların içinde p çarpanı çok azdır. Gelin p değerlerini tek tek deneyelim.

P'nin iki, üç, beş veya yedi olması durumunda payda çok fazla p çarpanı olur ve ifade tam sayı olur. Bu yüzden daha büyük asallara bakalım.

P eşittir on bir için bakalım. Yirmi iki faktöriyelde on bir ve yirmi iki olmak üzere iki tane on bir vardır. On beş faktöriyelde ise bir tane vardır. Toplam üç eder. Üç, üçten küçük değildir. Dolayısıyla on bir olamaz.

P eşittir on üç için deneyelim. Yirmi iki içinde bir tane, on beş içinde bir tane on üç vardır. Toplam iki eder. İki, üçten küçüktür. Bu şartı sağlar.

P eşittir on yedi için; yirmi iki faktöriyelde bir tane var ama on beş faktöriyelde hiç yok. Toplam bir eder ve üçten küçüktür. Bu da sağlar.