Asal Sayılar Eşitlik Problemi

Merhaba Serhat, asal sayılarla ilgili bu güzel soruyu birlikte çözelim.

Öncelikle soruda a, b, c ve d'nin her birinin birer asal sayı olduğu belirtilmiş. Verilen denklemimizi yazalım.

Burada d bir asal sayıdır. Eşitliğin sol tarafındaki çarpımın bir asal sayıya eşit olması için bazı durumları incelemeliyiz.

Eğer iki üssü a eksi b ifadesi birden büyük bir tam sayı olsaydı, d sayısı iki veya ikinin katı olurdu ve d'nin asal kalması için c ile olan çarpımı bozabilirdi.

d'nin bir asal sayı olması için en basit durum, iki üssü a eksi b ifadesinin bir olmasıdır. Çünkü bir ile bir asal sayıyı çarparsak sonuç yine asal olur.

Buradan a eşittir b sonucuna varırız. Ancak a ve b asal sayılar olduğundan, toplamın en az olması için en küçük asal sayıları seçmeliyiz.

En küçük asal sayımız ikidir. Eğer a ve b'ye iki verirsek, çarpım bir olur ve c eşittir d kalır. Ancak c ve d farklı asal sayılar olmalıdır yoksa toplam en az olmaz ya da denklem d'yi tanımlamaz. Deneyelim.

Bu durumda c ve d'yi en küçük seçmek için, ikiden sonraki ilk asal sayı olan üçü kullanalım. Fakat c ve d asal olduğu için c eşittir d olamaz, çünkü o zaman c ve d aynı sayı olur.

Şimdi diğer bir ihtimali düşünelim. Belki de iki üssü a eksi b ifadesi bir değil, ikinin kendisine eşittir.

Bu durumda a eksi b eşittir bir olmalıdır.

Farkları bir olan tek asal sayı çifti üç ve ikidir. Öyleyse a eşittir üç ve b eşittir iki olur.