Asal Bölenlerin Toplamı Problemi

Selam Mehmet, bu güzel sayı teorisi sorusunu birlikte adım adım çözelim. Soruda M, N ve K'nın birer doğal sayı olduğu belirtilmiş.

Kullanacağımız temel mantık şu: Bir sayının asal bölenleri, o sayının çarpanlarındaki asal sayılardır. Bir çarpımın asal bölenlerinin toplamı, çarpanların sahip olduğu farklı asal sayıların toplamıdır.

Şimdi ilk bilgiyi inceleyelim. M sayısının asal bölenleri toplamı, çarpım durumundaki M carpi N'nin asal bölenleri toplamından on eksikmiş.

Bu durum ancak N sayısının, M'de bulunmayan ve toplamları on olan yeni asal bölenler getirmesiyle mümkündür.

Toplamları on olan asal sayıları düşünelim. Sadece üç ve yedi asallarının toplamı on eder.

Demek ki N sayısının içinde üç ve yedi asalları mutlaka var ama M sayısının içinde üç ve yedi asalları yok.

İkinci bilgimize geçelim. M sayısının asal bölenleri toplamı, N carpi K sayısının asal bölenleri toplamından on yedi eksikmiş.

Birinci adımda bulduğumuz eşitliği hatırlayalım. A M artı on, A M carpi N'ye eşitti. Dolayısıyla A M eşittir A M carpi N eksi on yazabiliriz.

Bu ifadeyi düzenlediğimizde, N carpi K çarpımının asal bölenleri toplamının, M carpi N'den yedi fazla olduğunu görürüz.

M carpi N çarpımında üç ve yedi asallarının olduğunu biliyoruz. K sayısı bu çarpıma toplamları yedi olan yeni asallar eklemeli.

Toplamı yedi olan asallar; sadece yedi olabilir ya da iki ve beş olabilir.

Soruda bizden N artı bir carpi K ifadesinin alabileceği en küçük değer isteniyor. Değerleri minimize etmeye çalışalım.

N sayısının içinde üç ve yedi çarpanları olması gerektiğini bulmuştuk. En küçük N için N eşittir üç carpi yedi yani yirmi bir diyebiliriz.