Aritmetik ve Geometrik Diziler Sorusu

Merhaba Nisanur, gel bu güzel diziler sorusunu birlikte adım adım çözelim.

Elimizde terimleri birbirinden farklı ve pozitif tam sayılardan oluşan, beş terimli bir aritmetik dizi var. Bu dizinin terimlerine a, a artı d, a artı iki d, a artı üç d ve a artı dört d diyelim.

Ülgen bu sayılardan iki tanesini sildiğinde, geriye kalan üç sayı bir geometrik dizinin ardışık üç terimi oluyormuş.

Bir geometrik dizide, ortadaki terimin karesi, yanındaki terimlerin çarpımına eşittir. Bu kuralı kullanarak hangi terimlerin kalabileceğini bulalım.

Önce hangi üçlülerin geometrik dizi oluşturabileceğini test edelim. Örneğin birinci, ikinci ve dördüncü terimler kalsın.

Denklemi açalım. Birincinin karesi, birinciyle ikincinin çarpımının iki katı ve ikincinin karesi. Sağ tarafı da dağıtalım.

A kareler birbirini götürür. İki a deyi sağa atarsak, d kare eşittir a d buluruz.

Terimler farklı dediği için d sıfır olamaz. O halde d eşittir a sonucuna ulaşıyoruz.

Eğer d eşittir a ise dizimiz a, iki a, üç a, dört a ve beş a olur. Sildiğimiz terimler üçüncü ve beşinci terimlerdir.

Birinci öncülde toplamın yirmi olabileceği söylenmiş. Sekiz a eşittir yirmi tam sayı vermez. İkinci öncüle bakalım: sekiz a eşittir otuz iki ise a eşittir dört olur.

Bu durumda sildiğimiz sayıların toplamı otuz iki olabilir. Yani ikinci öncül doğrudur.

Şimdi başka bir durumu inceleyelim. Birinci, üçüncü ve beşinci terimler kalsın.

Daha hızlı çözelim. A kare artı dört a d artı dört d kare eşittir a kare artı dört a d.