Aritmetik Dizi Problemi

Question

20. Pozitif terimli ve artan bir $(a_n)$ aritmetik dizisi için $$a_1 + a_3 + a_5 = a_2 \cdot a_3$$ $$a_1 \cdot a_4 = 2 \cdot a_3$$ eşitlikleri veriliyor. Buna göre $a_4 \cdot a_6$ çarpımı kaçtır? A) $\frac{27}{2}$ B) $\frac{81}{4}$ C) 36 D) 45 E) 54

Solvi · Accepted Answer

Merhaba Yiğit, pozitif terimli ve artan bir aritmetik dizi sorusunu birlikte çözelim. Öncelikle aritmetik dizinin temel özelliğini hatırlayalım: herhangi iki terimin toplamı, indisleri toplamının ortasındaki terimin iki katına eşittir. Bize verilen ilk denklemde a bir artı a üç artı a beş eşittir a iki çarpı a üç denilmiş. Burada a bir ve a beşin toplamı yerine iki a üç yazabiliriz. Sol tarafı düzenlediğimizde üç tane a üç elde ederiz. Dizi pozitif terimli olduğu için a üç sifir olamaz. Bu yüzden her iki tarafı a üçe bölelim. Buradan dizinin ikinci terimini üç olarak bulmuş olduk. Şimdi ikinci denklemi kullanalım. İkinci denklemde a bir çarpı a dört eşittir iki a üç olarak verilmiş. Dizinin ortak farkına d diyelim. Bilinen a iki eşittir üç değerini kullanarak tüm terimleri d cinsinden yazalım. Bu değerleri ikinci denklemde yerine koyalım. Sol taraftaki parantezleri dağıtalım: dokuz artı altı d eksi üç d eksi iki d kare. Sağ taraf ise altı artı iki d olur. Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim.

Aritmetik Dizi Problemi

Animasyonlu Video Çözüm

Adım Adım Yazılı Çözüm