Ardışık Dört Tam Sayı Kökleri

Merhaba babanen, iki adet ikinci dereceden denklem ve kökleri arasındaki ilişkiyle ilgili bu soruyu birlikte çözelim.

Elimizde iki denklem var. İlk denklemi x kare eksi a x artı b artı c eşittir sıfır olarak görüyoruz.

İkinci denklemimiz ise x kare eksi sekiz x artı a artı b eşittir sıfır.

Soruda bu iki denklemin köklerinin ardışık dört tam sayıdan oluştuğu söylenmiş. Bu kökleri n, n artı bir, n artı iki ve n artı üç olarak isimlendirebiliriz.

İkinci denklemde x li terimin katsayısını biliyoruz. Kökler toplamı formülünden yararlanalım.

İkinci denklemin kökleri bu ardışık dört sayıdan herhangi ikisi olabilir. Hangi ikilinin toplamı sekiz eder, bunu düşünelim.

Eğer kökler üç ve beş olursa, toplamları sekiz yapar. Ancak sayılar ardışık olmalı. Kökler üç ve beş ise, kümedeki diğer sayılar iki ve dört olmalıdır.

Ya da kökler üç virgül beş ve dört virgül beş olabilirdi ama köklerin tam sayı olduğu belirtilmiş. Bu yüzden tek ihtimalimiz iki, üç, dört ve beş sayılarıdır.

O halde kümemiz kesinlikle iki, üç, dört ve beşten oluşur. İkinci denklemin kökleri toplamı sekiz olduğu için bu kökler üç ve beştir.

Şimdi kökler çarpımını kullanarak a artı b değerini bulalım. Kökler üç ve beş olduğu için çarpımları on beş olur.

Ayrıca ikinci denklemde kökler toplamı sekiz demiştik. Buradan a değerini de bulabiliriz. pardon, birinci denklemdeki a ya bakalım.

Geriye kalan kökler iki ve dörttür. Bunlar birinci denklemin kökleri olmalıdır.

Birinci denklemin kökler toplamı a katsayısına eşittir. İki artı dört altı yapar, yani a eşittir altı.

Bu a değerini az önce bulduğumuz a artı b eşittir on beş denkleminde yerine yazalım.

Son olarak birinci denklemin kökler çarpımına odaklanalım. Kökler iki ve dört olduğu için çarpım sekizdir.

B yi dokuz bulmuştuk. Dokuz artı c sekiz ise, buradan c birinci durumda eksi bir çıkar.

Peki köklerin dağılımı farklı olabilir miydi? İkinci denklemin kökleri toplamı sekiz olan başka bir ardışık tam sayı ikilisi yoktur dedik.

Fakat ikinci denklemin kökleri ardışık olmak zorunda değil. Kökler kümesinden seçeceğimiz herhangi iki sayının toplamı sekiz olmalı.

Örneğin n ile n artı üçü toplarsak sekiz eder mi? İki n artı üç eşittir sekiz ise n tam sayı çıkmaz.

Peki n artı bir ile n artı ikinin toplamı sekiz olur mu? İki n artı üç eşittir sekizden yine tam sayı gelmez.