Anwendung trigonometrischer Funktionen: Photovoltaikanlage
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Aufgabe 3
(30 Punkte)
Die Leistung einer Photovoltaikanlage in Kilowatt (kW) an einem Tag wird beschrieben durch die Funktion $p$ mit $p(t) = 6 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12}t\right)$ mit $t \in [0;12]$.
$t$ ist die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn, $t = 0$ entspricht der Uhrzeit 7 Uhr morgens.
3.1 Skizzieren Sie das Schaubild von $p$.
Geben Sie an, zu welcher Uhrzeit die Photovoltaikanlage die höchste Leistung hat. Geben Sie diese Leistung an. (5 Punkte)
3.2 Für den Betrieb eines Wäschetrockners ist eine Leistung von $3,5$ kW erforderlich. Berechnen Sie, in welchem Zeitraum der Wäschetrockner ausschließlich mit der Photovoltaikanlage betrieben werden kann.
Die Trocknung einer Ladung Wäsche dauert 3 Stunden.
Geben Sie an, zu welcher Uhrzeit der Wäschetrockner hierzu spätestens gestartet werden muss. (7 Punkte)
3.3 Unter Leistung versteht man die momentane Änderungsrate der Energie.
Berechnen Sie das Integral $\int_{2}^{10} p(t) dt$ und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang. (5 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe untersuchen wir die Leistung einer Photovoltaikanlage, die durch eine Sinusfunktion beschrieben wird. Wir werden den Graphen skizzieren, Betriebszeiten berechnen und ein Integral interpretieren.
Photovoltaikanlage Analyse
Zuerst schauen wir uns Aufgabenteil drei punkt eins an. Die Funktion hat eine Amplitude von sechs und eine Periode von vierundzwanzig Stunden. Für das Intervall Null bis zwölf stellt dies eine halbe Sinuswelle dar.
3.1 Skizze und Maximum
Das Maximum der Sinusfunktion liegt bei sechs Kilowatt, wenn das Argument pi halbe ist. Das passiert bei t gleich sechs Stunden. Da t gleich Null sieben Uhr morgens entspricht, ist die Uhrzeit dreizehn Uhr.
In Aufgabenteil drei punkt zwei suchen wir das Zeitintervall, in dem die Leistung mindestens drei komma fünf Kilowatt beträgt. Wir setzen p von t gleich drei komma fünf.
3.2 Betriebszeit des Trockners
Wir dividieren durch sechs und wenden den Arkussinus an, um t zu isolieren.
Daraus ergeben sich zwei Zeitpunkte innerhalb des Bereichs von Null bis zwölf durch Symmetrie der Sinuskurve.
Der Wäschetrockner benötigt drei Stunden. Da der Zeitraum von zwei komma drei acht bis neun komma sechs zwei etwa sieben komma zwei vier Stunden lang ist, ist der Betrieb möglich.
Zeitraum: [2,38h; 9,62h] (Dauer ca. 7,24h)
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