Analysis von Polynomfunktionen
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Aufgabe 2
(30 Punkte)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = -2x^4 + 4x^2 + 1, x \in \mathbb{R}$. Ihr Schaubild ist $K_f$.
2.1 Untersuchen Sie $K_f$ auf Symmetrie.
Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte von $K_f$ und geben Sie das Krümmungsverhalten von $K_f$ an.
Zeichnen Sie $K_f$ für $-1,5 \le x \le 1,5$. (10 Punkte)
2.2 $K_f$ und die Gerade mit der Gleichung $y = 1$ schließen im 1. Quadranten eine Fläche ein. Markieren Sie die beschriebene Fläche in Ihrer Zeichnung aus 2.1.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. (5 Punkte)
2.3 Die Funktion $g$ ist eine Polynomfunktion 3. Grades mit einer Nullstelle im Ursprung und einer weiteren an der Stelle $x = 3$, an der das Schaubild die x-Achse berührt. Weiterhin liegt der Punkt $P(-1|-4)$ auf dem Schaubild von $g$.
Bestimmen Sie einen Funktionsterm von $g$. (4 Punkte)
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Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Today we'll analyze the function f of x equals minus two x to the fourth plus four x squared plus one and explore its properties, including symmetry, inflection points, and area.
Gegebene Funktion
First, let's examine the symmetry of the graph. We notice that all powers of x in the function are even.
2.1 Symmetrie
If we replace x with minus x, we see that the expression remains unchanged. Therefore, the function is symmetric with respect to the y-axis.
Now, let's find the inflection points. For this, we need the first and second derivatives.
Wendepunkte und Krümmungsverhalten
We set the second derivative to zero to find potential inflection points.
Solving for x squared, we get one third. Taking the square root gives us two values.
So we have x equals plus or minus the square root of one third, which is approximately plus or minus zero point five eight.
To find the y-coordinates, we plug these back into the original function. The corresponding y-value is approximately one point seven eight.
Looking at the second derivative, it's a downward-opening parabola. It's positive between the roots, implying a left curve, and negative outside, implying right curves.
Krümmung: RR für $x < -0,58$, LK für $|x| < 0,58$, RK für $x > 0,58$
In part 2.2, we find the area bounded by the graph and the line y equals one in the first quadrant.
2.2 Flächeninhalt im 1. Quadranten
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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