Analysis von Polynom-, Exponentialfunktionen und Integration
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1.4 Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{4}x^3 + x + 1$, $x \in \mathbb{R}$.
Berechnen Sie die Gleichung der Tangente an das Schaubild von $g$ im Punkt $P(2 | g(2))$. (4 Punkte)
1.5 Zeigen Sie, dass das Schaubild der Funktion $h$ mit $h(x) = e^x - x$, $x \in \mathbb{R}$ für $x < 0$ fällt. (3 Punkte)
1.6 Berechnen Sie $\int_{0}^{\ln(4)} (e^x - 1) dx$. (4 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Wir werden heute drei verschiedene Aufgaben aus der Analysis lösen. Fangen wir mit Aufgabe eins punkt vier an, bei der wir die Tangentengleichung für die Funktion g bestimmen sollen.
Aufgabe 1.4: Tangentengleichung
Die allgemeine Formel für eine Tangente an der Stelle x null lautet y gleich g Strich von x null mal Klammer auf x minus x null Klammer zu plus g von x null. In unserem Fall ist x null gleich zwei.
Zuerst berechnen wir den Funktionswert an der Stelle zwei. Wir setzen zwei in g von x ein.
Zwei hoch drei ist acht. Ein Viertel von acht ist zwei. Zusammen mit den anderen Termen ergibt das fünf. Der Berührpunkt ist also P zwei strich fünf.
Nun benötigen wir die Ableitung, um die Steigung zu finden. Wir wenden die Potenzregel an.
Jetzt setzen wir den x-Wert zwei in die Ableitung ein, um die Steigung m zu erhalten.
Zwei zum quadrat ist vier. Drei Viertel mal vier ist drei. Plus eins ergibt eine Steigung von vier.
Setzen wir nun alles in die Tangentengleichung ein.
Ausmultipliziert erhalten wir vier x minus acht plus fünf, also vier x minus drei.
In Aufgabe eins punkt fünf sollen wir zeigen, dass die Funktion h für negative x-Werte streng monoton fallend ist.
Aufgabe 1.5: Monotonie nachweisen
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