Analyse von Nutzeranteilen durch e-Funktionen
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Ein Unternehmen produziert Betriebssysteme für Smartphones. Alle Smartphone-Besitzer können diese Betriebssysteme nutzen. Im September 2019 veröffentlichte das Unternehmen das Betriebssystem 4.0 als Nachfolger des Betriebssystems 3.0. Weitere Betriebssysteme sind ebenfalls am Markt und werden genutzt.
Die Funktion $g$ mit $g(t) = -80 \cdot e^{-0,023 \cdot t} + 80, t \ge 0$ beschreibt durch $g(t)$ den Anteil der 4.0-Nutzer in Prozent zum Zeitpunkt $t$.
Dabei ist $t$ die Zeit in Tagen, $t = 0$ entspricht dem 1. September 2019.
2.4 Skizzieren Sie das Schaubild von $g$. Wie viel Prozent der Smartphone-Besitzer werden niemals 4.0 nutzen? Ermitteln Sie den Anteil der 4.0-Nutzer nach 60 Tagen. Zu welchem Zeitpunkt hat die Hälfte der Smartphone-Besitzer 4.0 installiert? (8 Punkte)
2.5 Die Funktion $h$ mit $h(t) = a \cdot e^{b \cdot t} + 15, t \ge 0, a, b \neq 0$ beschreibt durch $h(t)$ den Anteil der 3.0-Nutzer in Prozent zum Zeitpunkt $t$. Dabei ist $t$ die Zeit in Tagen, $t = 0$ entspricht dem 1. September 2019.
* 75% der Smartphone-Besitzer verwendeten 3.0 zum Zeitpunkt $t = 0$.
* 30 Tage nach der Einführung von 4.0 war der Nutzeranteil beider Betriebssysteme gleich.
Bestimmen Sie die Werte für $a$ und $b$. (5 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
Today we will analyze the market share of smartphone operating systems. We are given the function g of t, which describes the percentage of users of version 4.0 over time t in days.
Analyse des Nutzeranteils
Let's start with task 2.4. First, we need to determine how many smartphone owners will never use version 4.0. This corresponds to the horizontal asymptote as time goes to infinity.
Teil 2.4: Grenzverhalten
As t approaches infinity, the exponential term e to the power of negative 0.023 t approaches zero.
Since the maximum percentage of users reaches 80 percent, the remaining 20 percent will never use version 4.0.
Next, we calculate the share of 4.0 users after 60 days by substituting t equals 60 into our function.
Anteil nach 60 Tagen
Calculating the exponent, we get negative 1.38. Evaluating the expression gives us approximately 60 percent.
Rounding to two decimal places, we find that about 59.87 percent of users have installed version 4.0 after 60 days.
Now, we want to find the exact time when half of all users, meaning 50 percent, have version 4.0 installed. We set g of t equal to 50.
Zeitpunkt für 50%
First, subtract 80 from both sides, which gives us negative 30 on the left.
Divide by negative 80 to isolate the exponential term.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
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