Analyse eines Schaubilds einer Polynomfunktion

Willkommen zu dieser Aufgabe. Wir haben den Graphen einer Polynomfunktion p gegeben und sollen vier Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt prüfen.

In Teilaufgabe a geht es um den Grad der Funktion. Wir schauen uns die Anzahl der Extrempunkte an.

Wir sehen ein lokales Maximum bei etwa minus eins komma fünf, ein lokales Minimum bei etwa null komma fünf und ein weiteres lokales Minimum bei etwa eins komma acht.

Außerdem sehen wir vier Nullstellen, wenn wir den Kurvenverlauf betrachten. Ein Polynom vom Grad n hat höchstens n minus eins Extrema.

Betrachten wir das Fernverhalten. Der Graph kommt von minus unendlich und geht nach plus unendlich. Das deutet auf einen ungeraden Grad hin. Da vier Extrema angedeutet werden, ist ein Grad von mindestens fünf plausibel. Die Aussage ist wahr.

In Teilaufgabe b suchen wir die Wendepunkte im gezeichneten Bereich.

Ein Wendepunkt liegt dort, wo sich die Krümmung ändert. Zuerst haben wir eine Rechtskrümmung bis zum ersten Tiefpunkt.

Zwischen dem Hochpunkt und dem darauffolgenden flachen Bereich muss ein Krümmungswechsel von rechts nach links stattfinden. Das ist der erste Wendepunkt. Danach folgt wieder ein Wechsel von links nach rechts vor dem letzten Tiefpunkt.

Vom letzten Tiefpunkt nach rechts oben findet kein weiterer Wechsel mehr statt. Wir zählen also genau zwei Wendepunkte. Die Aussage ist wahr.