Analyse einer periodischen Temperaturfunktion
Veröffentlicht:
Die Temperatur (in °C) einer Felswand wird beschrieben durch die Funktion $T$ mit
$$T(t) = -7 \cos\left(\frac{\pi}{12} \cdot t\right) + 14, \quad t \in [0; 24].$$
Dabei ist $t$ die Zeit (in Stunden) und $t = 0$ entspricht der Zeit 5:00 Uhr.
3.3 Bestimmen Sie die Uhrzeiten, zu denen der Fels am wärmsten bzw. am kältesten ist und ermitteln Sie die zugehörigen Temperaturen.
Zu welchen Zeitpunkten ändert sich die Temperatur am schnellsten und welchen Wert nimmt sie dann an? (6 Punkte)
Animierte Videolösung
Die erste Hälfte ist kostenlos, die komplette Lösung gibt es in der App.
Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe untersuchen wir die Temperatur einer Felswand über einen Zeitraum von vierundzwanzig Stunden. Wir sollen die Zeitpunkte für das Temperaturmaximum und -minimum sowie die maximale Änderungsrate bestimmen.
Temperaturanalyse einer Felswand
Zuerst halten wir fest, dass t gleich null der Uhrzeit fünf Uhr morgens entspricht. Das Intervall für t geht von null bis vierundzwanzig Stunden.
Referenzzeit: $t = 0 \rightarrow 5:00$ Uhr
Definitionsbereich: $t \in [0; 24]$
Beginnen wir mit dem kältesten und wärmsten Punkt. Da es eine einfache Kosinusfunktion ist, wissen wir, dass der Kosinus Werte zwischen minus eins und eins annimmt.
1. Extremwerte bestimmen
Die Temperatur ist am kältesten, wenn der Kosinus-Ausdruck eins ist, da wir ein Minuszeichen vor der Sieben haben.
Das passiert, wenn das Argument des Kosinus null oder zwei pi ist. Für t gleich null erhalten wir sieben Grad Celsius.
Am wärmsten ist es, wenn der Kosinus minus eins ist.
Dies tritt ein, wenn das Argument pi ist. Wir lösen nach t auf und erhalten zwölf Stunden nach dem Startzeitpunkt.
Der Rest der Lösung ist auf Solvi
7 weitere Schritte sind gesperrt. Sieh dir die komplette animierte Lösung kostenlos an.
Mach ein Foto, löse jede Aufgabe so.
Den Rest kostenlos ansehen
Kostenloser Download · Erste Lösungen geschenkt
