Analyse einer Ableitungsfunktion f'
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1.5 Gegeben ist das Schaubild $K_{f'}$ einer Ableitungsfunktion $f'$.
Beurteilen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
(1) Das Schaubild von $f$ hat an der Stelle $x = 2$ einen Hochpunkt.
(2) Das Schaubild von $f$ hat genau zwei waagrechte Tangenten.
(3) $K_{f'}$ ist auch das Schaubild der Ableitungsfunktion $f(x) + 2$.
(4) Es gibt eine Funktion $f$ mit $f(x) > 0$ für alle $x$.
(8 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt einen Graphen $K_{f'}$ im kartesischen Koordinatensystem. Die x-Achse ist von -2 bis 2 beschriftet, die y-Achse von -1 bis 1. Der Graph der Ableitungsfunktion f' schneidet die x-Achse (Nullstellen) bei ca. $x = -2$, $x = 0$ und $x = 2$. Zwischen $x = -2$ und $x = 0$ verläuft der Graph oberhalb der x-Achse mit einem Hochpunkt bei etwa $(-1.2, 1.5)$. Zwischen $x = 0$ und $x = 2$ verläuft der Graph unterhalb der x-Achse mit einem Tiefpunkt bei etwa $(1.2, -1.2)$. Ab $x = 2$ steigt der Graph steil an.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir den Graphen einer Ableitungsfunktion f-Strich und beurteilen vier Aussagen über die ursprüngliche Funktion f.
Analyse der Ableitungsfunktion $f'$
Zuerst betrachten wir Aussage eins: Das Schaubild von f hat an der Stelle x gleich zwei einen Hochpunkt.
1) $f$ hat bei $x=2$ einen Hochpunkt?
Ein Extrempunkt von f liegt vor, wenn die Ableitung f-Strich gleich null ist. Wir sehen im Graphen, dass bei x gleich zwei tatsächlich eine Nullstelle von f-Strich liegt.
Für einen Hochpunkt muss die Ableitung von plus nach minus wechseln. Hier wechselt f-Strich aber von einem negativen Wert zu einem positiven Wert. Das bedeutet, f hat dort einen Tiefpunkt.
Damit ist die erste Aussage falsch.
$\Rightarrow$ Falsch (es ist ein Tiefpunkt)
Kommen wir zur zweiten Aussage: Das Schaubild von f hat genau zwei waagrechte Tangenten.
2) $f$ hat genau zwei waagrechte Tangenten?
Waagrechte Tangenten treten dort auf, wo die Ableitung f-Strich gleich null ist.
Schauen wir uns den Graphen an. Die Nullstellen von f-Strich liegen bei x gleich minus zwei, x gleich null und x gleich zwei.
Das sind drei Nullstellen, also gibt es drei waagrechte Tangenten. Die Aussage, es seien genau zwei, ist somit falsch.
$\Rightarrow$ Falsch (es gibt 3 Nullstellen)
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