Analyse der Exponentialfunktion k(x) = 2e^-x - 1
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1.5 Die Funktion k ist gegeben durch $k(x) = 2e^{-x} - 1$, $x \in \mathbb{R}$.
Das Schaubild heißt K. Geben Sie die Gleichung der Asymptote von K an. Skizzieren Sie K.
In welchem Quadranten schließt K mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein?
(5 Punkte)
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe betrachten wir die Exponentialfunktion k von x gleich zwei mal e hoch minus x minus eins. Wir bestimmen die Asymptote, skizzieren den Graphen und finden den Quadranten, in dem eine Fläche mit den Koordinatenachsen eingeschlossen wird.
Analysis der Funktion $k(x)$
Zuerst notieren wir die Funktionsgleichung.
Um die waagerechte Asymptote zu finden, untersuchen wir das Verhalten für sehr große x-Werte. Wenn x gegen unendlich geht, geht e hoch minus x gegen null.
Somit nähert sich der Funktionswert k von x dem Wert minus eins an.
Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet also y gleich minus eins. Dies markieren wir als unser erstes Teilergebnis.
Um den Graphen zu skizzieren, berechnen wir markante Punkte wie den Schnittpunkt mit der y-Achse.
Skizze vorbereiten
Da e hoch null gleich eins ist, erhalten wir zwei minus eins, was eins ergibt. Der y-Achsenabschnitt liegt also bei Null eins.
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