Analitik Düzlemde Kare ve Dörtgen Alanı

Merhaba Nehir! Bu videoda seninle koordinat düzleminde verilen bu güzel geometri sorusunu adım adım çözeceğiz. İlk olarak soruda bize verilen bilgileri inceleyelim.

Bizden alanı istenen mavi bölge, köşeleri A, K, M ve L olan bir AKML dörtgenidir. Dikkat edersen, bu dörtgenin KL köşegeni x ekseni üzerinde, AM köşegeni ise y ekseni üzerindedir.

Koordinat eksenleri birbirine dik olduğu için, bu dörtgenin köşegenleri de birbirine diktir. Köşegenleri dik kesişen bir dörtgenin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısıdır.

K ve L noktalarının koordinatları bize sırasıyla sekize sıfır ve eksi ikiye sıfır olarak verilmiş. O halde KL köşegeninin uzunluğunu hemen hesaplayabiliriz.

Harika! Şimdi tek yapmamız gereken AM köşegeninin uzunluğunu bulmak.

Karemizin köşelerini ve kenarlarını koordinat düzleminde daha rahat analiz edebilmek için karelerde çok sık kullandığımız eşlik yöntemini uygulayalım. A noktasının koordinatlarına sıfıra a diyelim.

A köşesinden B köşesine giderken sağa p birim, aşağı q birim ilerlediğimizi varsayalım. Karenin kenarları eşit ve dik olduğundan, diğer köşeleri de p ve q cinsinden yazabiliriz.

Şimdi AD doğrusunun denklemini yazalım. A sıfıra a ve D eksi q'ya a eksi p noktalarından geçen bu doğrunun eğimi p bölü q'dur.

Buradan AD doğrusunun denklemini px eksi qy artı aq eşittir sıfır olarak buluruz.

L eksi ikiye sıfır noktası AD kenarı üzerinde olduğuna göre, bu denklemi sağlamalıdır. x yerine eksi iki, y yerine sıfır yazalım.

Benzer şekilde, BC doğrusu AD doğrusuna paralel olduğundan eğimi yine p bölü q'dur. B noktasını kullanarak bu doğrunun denklemini yazalım.