Alan Hesaplama İntegral Sorusu

Merhaba arkadaşlar! Bugün integral kullanarak grafik üzerindeki taralı bir bölgenin alanını nasıl hesaplayacağımızı inceleyeceğiz.

Sorumuzda bizden y eşittir x kare eksi iki x parabolü, y eşittir x doğrusu ve x eşittir dört doğrusu arasında kalan taralı alanı bulmamız isteniyor.

İlk adım olarak, parabol ve doğrunun hangi noktalarda kesiştiğini belirleyelim. Bunun için iki denklemi birbirine eşitliyoruz.

Denklemi düzenlediğimizde x kare eksi üç x eşittir sıfır ifadesine ulaşırız. Bu ifadeyi x parantezine alarak kökleri bulalım.

Buradan kesim noktalarımızın apsislerini x eşittir sıfır ve x eşittir üç olarak buluruz. Grafikten de gördüğümüz gibi bu noktalar alanın sınırlarını belirlemede kritik öneme sahip.

Grafiği incelediğimizde taralı alanın sıfırdan dörde kadar uzandığını görüyoruz. Ancak üç noktasında üstteki ve alttaki fonksiyonlar yer değiştiriyor. Bu yüzden alanı iki ayrı parça olarak hesaplamalıyız.

Birinci alanımız sıfır ile üç aralığında. Bu bölgede y eşittir x doğrusu üstte, parabol altta kalmaktadır. İntegral kuralı gereği üsttekinden alttakini çıkarıyoruz.

Parantezi açıp düzenlediğimizde üç x eksi x kare ifadesinin integralini almamız gerektiğini görüyoruz.

İntegrali aldığımızda üç bölü iki x kare eksi bir bölü üç x küp elde ederiz. Sınırları yerine yazalım.