ACR ve OBR Üçgenlerinin Alanlarının Eşitliği

Selam Yiğit, trigonometri ve geometriyi birleştiren bu güzel soruyu birlikte çözelim.

Önce verilenleri analiz edelim. Yarıçapı bir birim olan bir yarım çemberimiz var, yani O A ve O B uzunlukları bire eşittir.

C B A açısına alfa denmiş. Çemberde çapı gören çevre açı doksan derece olduğu için A C B açısı diktir.

Şimdi üçgenlerin alanlarını alfa cinsinden ifade edelim. O B R yani mavi üçgenin alanı ile başlayalım.

O B uzunluğu bir olduğuna göre, O B R dik üçgeninde O R uzunluğu tanjant alfadır.

Şimdi sarı bölgeye, yani A C R üçgenine bakalım. Bunun için toplam alan olan A B C'den diğer parçaları çıkarabiliriz ya da sinüslü alan formülünü kullanabiliriz.

Daha kolay bir yol seçelim. A B C üçgeninin alanını ve diğer parçaları bulup sarı alanı yalnız bırakalım.

A B çapı iki birimdir. O halde A C uzunluğu iki çarpı sinüs alfa, B C uzunluğu ise iki çarpı kosinüs alfadır.

Buradan tüm üçgenin alanı, iki çarpı sinüs alfa çarpı kosinüs alfadan, sinüs iki alfa olur.

Şimdi diğer parçaları çıkaralım. A R O üçgeninin tabanı bir, yüksekliği tanjant alfadır.