ABCD Kare ve Üçgenlerin Alan Oranı

Merhaba Bengisu, seninle birlikte bu harika geometri sorusunu adım adım çözelim.

Soruda bize ABCD'nin bir kare olduğu verilmiş. Ayrıca BF doğrusu EC doğrusuna diktir. EF uzunluğu yedi santimetre, FC uzunluğu ise altı santimetredir. Bizden BFC üçgeninin alanının, EDC üçgeninin alanına oranı isteniyor.

Şimdi bu şekli daha net görebilmek için temiz bir tahtada yeniden çizelim ve açılarımızı yerleştirelim.

Karenin bir kenar uzunluğuna a diyelim. Bu durumda BC ve CD kenarları a birim uzunluğunda olur.

Şimdi BCF açısına alfa diyelim. BFC dik üçgeninde, açılar toplamı yüz seksen derece olduğundan, FBC açısı doksan eksi alfa olacaktır.

Karenin köşesi doksan derece olduğundan, BCD açısı da doksan derecedir. Dolayısıyla, ECD açısı, doksan dereceden alfanın çıkarılmasıyla doksan eksi alfa olarak bulunur.

EDC dik üçgeninde, dar açıların toplamı doksan derece olmalıdır. Bu yüzden DEC açısı da alfa olur.

Açıları incelediğimizde, BFC ve EDC dik üçgenlerinin açılarının birebir aynı olduğunu görüyoruz. Bu iki üçgen, Açı Açı Açı benzerlik kuralına göre benzerdir.

Şimdi bu iki benzer dik üçgendeki trigonometrik oranları yazarak a değerini bulmaya çalışalım.

İlk olarak, BFC dik üçgeninde alfanın komşu dik kenarının hipotenüse oranından, yani kosinüs alfa değerini yazalım. Bu oran altı bölü a olur.

Şimdi de EDC dik üçgeninde alfanın karşı dik kenarının hipotenüse oranından, sinüs alfa değerini yazalım. Bu oran da a bölü on üç olur.

Matematikteki en temel özdeşliklerden biri olan, sinüs kare alfa ile kosinüs kare alfanın toplamının bir olması kuralını uygulayalım.

Bulduğumuz ifadeleri bu özdeşlikte yerine koyalım ve oluşan denklemi çözelim.

Kareleri aldığımızda, a kare bölü yüz altmış dokuz artı otuz altı bölü a kare eşittir bir denklemini elde ederiz.

Bu denklemi kolayca çözmek için a kare yerine u değişkenini yazalım.