ABCD Dikdörtgeni ve Eş Dikdörtgenler Sorusu
Yayınlanma:
Dik üçgenlerde $90^\circ$ lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir.
Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
$$a^2 + c^2 = b^2$$
ABCD dikdörtgeni biçimindeki bir kâğıt parçasının bir yüzüne aşağıdaki gibi 10 eş dikdörtgen çizilip bu dikdörtgenler boyanıyor.
[Görselde verilen şekil]
Kâğıdın bu yüzündeki boyanmayan bölgelerin alanları toplamı $30 \text{ cm}^2$ olduğuna göre ABCD dikdörtgeninin köşegenlerinden birinin uzunluğu kaç santimetredir?
A) $3\sqrt{10}$
B) $5\sqrt{26}$
C) $10\sqrt{13}$
D) $26\sqrt{10}$
Soruda görsel içerik var: Üst kısımda bir dik üçgenin özellikleri ve Pisagor bağıntısı olan $a^2 + c^2 = b^2$ formülü gösterilmiştir. Alt kısımda ise büyük bir ABCD dikdörtgeni ve içerisinde 10 adet küçük özdeş dikdörtgenin dizildiği bir desen görülmektedir. Bu küçük dikdörtgenler bir boyama deseni oluştururken aralarında boş bırakılmış (boyanmamış) beyaz bölgeler vardır. En sağ kısımda büyük dikdörtgenin D ve C köşelerini birleştiren köşegenin uzunluğu ile ilgili bir yapı mevcuttur.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Selam Zeynep, bu soruda bize bir dikdörtgenin içindeki 10 eş küçük dikdörtgen verilmiş. Önce bu küçük dikdörtgenlerin kenarları arasındaki ilişkiyi bulalım.
Geometri: Dikdörtgen ve Pisagor Teoremi
Küçük dikdörtgenlerin kısa kenarına x, uzun kenarına y diyelim. Şekle baktığımızda üst tarafta dikey duran 3 tane küçük dikdörtgenin kısa kenarları toplamının, alt taraftaki bir yatay uzun kenara eşit olduğunu görüyoruz. Yani y eşittir 3x olur.
Şimdi boyanmayan bölgelerin alanına bakalım. Şekilde 3 tane küçük beyaz kare benzeri boşluk var. Toplam alan 30 santimetrekare olduğuna göre, her bir boşluğun alanı 10 santimetrekaredir.
Bu boşlukların kenarlarını hesaplayalım. Boşluğun dikey kenarı, küçük dikdörtgenin uzun kenarı olan y'den, iki kısa kenarın yani 2x'in çıkarılmasıyla bulunur. Yatay kenarı ise x'tir.
y yerine 3x yazarsak, x çarpı 3x eksi 2x eşittir 10 denklemini elde ederiz. Buradan x kare eşittir 10 buluruz. Yani küçük kısa kenarımız karekök 10 santimetredir.
Şimdi büyük ABCD dikdörtgeninin kenar uzunluklarını bulalım. Kısa kenar olan AB, bir uzun kenar y ve bir kısa kenar x'in toplamıdır. Yani 3x artı x'ten 4x yapar.
ABCD Dikdörtgeni Kenarları
Uzun kenar olan BC ise, 3 tane dikey dikdörtgenin yatayda dizilmesi ve bir dikey kenarla sınırlanmasıyla 3y'ye eşittir. Y yerine 3x yazarsak BC kenarı 9x olur.
Köşegen uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremini kullanalım. Köşegenin karesi, 4x'in karesi ile 9x'in karesinin toplamına eşittir.
Çözümün devamı Solvi’de
8 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
