A ve B Sayılarının Çarpımı

Merhaba Alev, gel bu güzel LGS sorusunu birlikte çözelim. Tablodaki boşluklara birbirinden farklı doğal sayılar yerleştirmemiz isteniyor.

Kurala göre A ve B sayıları, kendilerine ortak kenarı olan karelerdeki sayıların çarpımına eşitmiş. Önce tabloyu bir çizelim.

Bilinmeyen karelere x, y ve z diyelim. A sayısı x, 4 ve z sayılarının çarpımıdır. B sayısı ise y, 7 ve z sayılarının çarpımıdır.

Burada kritik bilgi A ile B'nin aralarında asal olması. Aralarında asal sayılar 1 dışında ortak böleni olmayan sayılardır.

İki ifadede de ortak olan z sayısı sadece 1 olabilir. Eğer 1'den büyük olsaydı, her ikisini de bölerdi ve aralarında asal olmazlardı.

Şimdi A çarpı B'nin en az olması için x ve y yerine en küçük farklı doğal sayıları seçmeliyiz. Tablodaki sayılar 1, 4, 5, 7 zaten kullanıldı.

A'nın çarpanlarında 2 var. B'nin çarpanlarında ise 7 var. Aralarında asal olacak şekilde en küçük sayıları deneyelim. Boşta 2 ve 3 var.

Eğer x yerine 2 koyarsak A sekiz olur. Y yerine 3 koyarsak B yirmi bir olur.Sekiz ve yirmi bir aralarında asaldır.

Ancak A ve B ifadelerinin her birinin tüm kenar komşularını kontrol etmeliyiz. A'nın komşuları x, 5, z ve 4.

Hemen düzeltelim. A'nın kenar komşuları x, 5, 1 ve 4'tür. Çarparsak A, yirmi x eder. B'nin kenar komşuları y, 5, 1 ve 7 olduğundan, otuz beş y eder.

Fakat bir dakika, her ikisi de 5'e bölünüyor. Aralarında asal olamazlar! Demek ki A ve B merkezi çevreleyen sayılar değil, sadece tablodaki diğer kareler. Soruyu tekrar okuyalım.

Soruda A ve B'nin her biri kendine ortak kenarı olan karelerdeki sayıların çarpımı deniyor. A'nın komşuları üstteki, alttaki ve sağındaki kareler. B'nin komşuları ise üstteki, alttaki ve solundakidir.

Orta karedeki z sayısı A ve B'nin ortak çarpanıdır. Aralarında asal dendiği için z eşittir 1 olmalı.

Şimdi 5 sayısına bakalım. 5 sayısı ne A'nın ne de B'nin komşusu. Çünkü çapraz komşuluk sayılmıyor. Kullanılmayan en küçük sayılar arasından seçim yapalım. 2, 3 ve 6'yı kullanalım.

Farklı seçimler deneyelim. x'e 2 dersek A sekiz olur. y'ye ise 3 veya 9 vermeliyiz. Ama y, B'ye 7 çarpanını getiriyor; x ise A'ya 2 çarpanını. y yerine 9 seçersek B 63 olur. 8 ve 63 aralarında asaldır.

Çarpımları sekiz kere altmış üç, beş yüz dört yapar. Çok büyük. Daha küçük bulabilir miyiz? x eşittir dokuz ve y eşittir iki desek? A otuz altı, B on dört olur. Yine ortak bölen var.

Peki x'e asal olmayan bir sayı verelim. x eşittir üç olsun, A on iki olur. y eşittir iki desek B on dört olur, olmaz. y eşittir beş diyemeyiz kullanılmış. y eşittir sekiz desek, B elli altı olur, olmaz.