a ve b pozitif gerçel sayıları için logaritma sorusu

MathematicsLogarithmsZorYKS

Yayınlanma:

Soru

17. a ve b pozitif gerçel sayıları için $$\sqrt{\log a} + \sqrt{\log b} + \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} = 100$$ eşitliğini sağlamakta ve eşitliğin sol tarafındaki dört terimin tamamı pozitif tam sayılardır. Buna göre $a \cdot b$ çarpımı kaçtır? A) $10^{52}$ B) $10^{100}$ C) $10^{144}$ D) $10^{164}$ E) $10^{200}$

Animasyonlu Video Çözüm

İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.

Adım Adım Yazılı Çözüm

1
Adım 1

Merhaba Zekiye, seninle birlikte bu harika logaritma sorusunu adım adım çözelim.

Soru Analizi

Verilen denklemdeki terimlerin pozitif tam sayı olduğunu biliyoruz. İlk olarak kolaylık olması için değişken tanımlayalım.

2
Adım 2

logaritma a ve logaritma b terimlerini x ve y değişkenleriyle ifade edelim. logaritmanın tabanı yazılmadığı için on tabanında olduğunu unutmayalım.

$$\log a = x$$
$$\log b = y$$
3
Adım 3

Şimdi sorudaki dört terimi x ve y cinsinden yazalım. Birinci terim logaritma a'nın karekökü, yani x'in karekökü olur.

$$\sqrt{\log a} = \sqrt{x}$$
4
Adım 4

İkinci terim logaritma b'nin karekökü, yani y'nin karekökü olur.

$$\sqrt{\log b} = \sqrt{y}$$
5
Adım 5

Üçüncü terim logaritma karekök a. Karekök a, a üzeri bir bölü iki olduğundan başa çarpan olarak gelir ve x bölü iki olur.

$$\log \sqrt{a} = \log(a^{1/2}) = \frac{1}{2}\log a = \frac{x}{2}$$
6
Adım 6

Benzer şekilde, dördüncü terim de y bölü iki olarak yazılır.

$$\log \sqrt{b} = \frac{y}{2}$$
7
Adım 7

Soruda bu dört terimin her birinin pozitif tam sayı olduğu belirtilmiş. Bu koşulları inceleyelim.

Terimlerin Pozitif Tam Sayı Olma Koşulu

$$\sqrt{x} \in \mathbb{Z}^+ \quad \text{ve} \quad \sqrt{y} \in \mathbb{Z}^+$$
$$\frac{x}{2} \in \mathbb{Z}^+ \quad \text{ve} \quad \frac{y}{2} \in \mathbb{Z}^+$$
8
Adım 8

Karekök x'in tam sayı olması için x'in tam kare bir sayı olması gerekir. Karekök x'e pozitif bir m tam sayısı diyelim.

$$\sqrt{x} = m \implies x = m^2 \quad (m \in \mathbb{Z}^+)$$
9
Adım 9

Benzer şekilde karekök y'ye de pozitif bir n tam sayısı diyelim. Buradan y, n'nin karesi olur.

$$\sqrt{y} = n \implies y = n^2 \quad (n \in \mathbb{Z}^+)$$
10
Adım 10

Şimdi diğer iki terimi inceleyelim. x bölü iki tam sayı ise m kare bölü iki tam sayı olmalıdır. Bu durum m sayısının çift tam sayı olmasını gerektirir.

$$\frac{x}{2} = \frac{m^2}{2} \in \mathbb{Z}^+ \implies m \text{ çift sayıdır.}$$
11
Adım 11

Aynı mantıkla n kare bölü iki de tam sayı olacağı için n sayısı da çift tam sayı olmalıdır.

$$\frac{y}{2} = \frac{n^2}{2} \in \mathbb{Z}^+ \implies n \text{ çift sayıdır.}$$
12
Adım 12

Harika gidiyoruz. Şimdi m ve n değişkenlerimizi ana denklemde yerine yazarak yeni bir eşitlik elde edelim.

Denklem Çözümü

$$\sqrt{x} + \sqrt{y} + \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 100$$
13
Adım 13

Bulduğumuz ifadeleri yerine koyalım. m artı n artı m kare bölü iki artı n kare bölü iki, yüze eşit olur.

$$m + n + \frac{m^2}{2} + \frac{n^2}{2} = 100$$

Çözümün devamı Solvi’de

12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.

Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.

App Store’dan indir Google Play’den edin

İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye

100K+Her gün çözülen soru
50K+Öğrenen öğrenci
4.8 ★App Store puanı

Soru Bilgileri

Ders
Mathematics
Konu
Logarithms
Zorluk
Zor
Sınav
YKS
Soru Tipi
Çoktan Seçmeli

Benzer Sorular

Logaritma Denklem Sistemi Logarithms · Orta Logaritmik İfade Hesabı Logarithms · Orta Logaritmik Denklem Sistemi Logarithms · Orta Logaritmik Kümeler ve Denklem Sistemleri Logarithms · Zor Deprem Şiddeti ve Logaritma Logarithms · Orta Logaritmik Şeker Karışım Problemi Logarithms · Orta

Her soruyu saniyeler içinde çöz

Fotoğrafını çek, yapay zeka adım adım, sesli ve animasyonlu anlatsın.

App Store’dan indir Google Play’den edin
Solvi
Çözümün devamı uygulamadaİndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
İndir