A ve B Kümeleri Eleman Sayısı Problemi

Merhaba Zekiye, hadi bu soruyu birlikte çözelim. Soruda bizden A birleşim B kümesinin eleman sayısının hangisi olamayacağı isteniyor.

İlk olarak işlem kolaylığı sağlamak için A kümesinin eleman sayısına küçük a, B kümesinin eleman sayısına ise küçük b diyelim.

Kartezyen çarpımın eleman sayısı formülünü hatırlayalım. A kartezyen A'nın eleman sayısı a kare olur. A kartezyen B'nin eleman sayısı ise a çarpı b'dir. Bu ifadeleri verilen denklemde yerine yazalım.

Şimdi a çarpı b terimini sol tarafa atarak denklemi düzenleyelim ve sol tarafı a ortak parantezine alalım.

Denklemin sol tarafını a parantezine aldığımızda, a çarpı, parantez içinde a eksi b, eşittir on iki ifadesini elde ederiz.

Yeni bir sayfaya geçerek elde ettiğimiz bu denklemi daha detaylı inceleyelim.

Burada a ve b küme eleman sayıları olduğu için, a pozitif bir tam sayı, b ise sıfır veya sıfırdan büyük bir tam sayı olmalıdır. Dolayısıyla a sayısı on ikinin pozitif bir böleni olmalıdır.

Ayrıca b'nin sıfıra eşit veya büyük olması gerektiğinden, a eksi b ifadesi a'dan küçük ya da eşit olmalıdır. Buradan a kare büyük veya eşittir on iki, yani a'nın on ikinin karekökünden büyük olması gerektiğini buluruz.

a kare büyük veya eşit on iki koşulunu sağlayan ve on ikiyi bölen pozitif tam sayılar sadece dört, altı ve on ikidir. Şimdi bu üç durumu tek tek inceleyelim.