5 Basamaklı Palindrom Sayı Problemi

Merhaba Gülnur, bu güzel sayı teorisi problemini birlikte adım adım çözelim. Soruda Kazım'ın seçtiği beş basamaklı bir palindrom sayıdan bahsediliyor.

Beş basamaklı bir palindrom sayıyı genel olarak a, b, c, b, a şeklinde yazabiliriz. Palindrom sayı olduğu için baştan ve sondan okunuşu aynı olmalı.

Bu sayının on beş ile tam bölünebildiği verilmiş. Bir sayı on beşe tam bölünüyorsa, aynı anda hem beşe hem de üçe tam bölünmesi gerekir.

Önce beşe bölünebilme kuralına bakalım. Bir sayının beşe bölünmesi için son basamağının sıfır veya beş olması gerekir. Yani 'a' sıfır veya beş olmalıdır.

Ancak bu beş basamaklı bir sayı olduğu için ilk basamağa sıfır yazamayız. Bu nedenle baş ve son basamak olan 'a' kesinlikle beştir.

O halde sayımızı tekrar yazarsak, beş ile başlayıp beş ile biten bir palindrom olduğunu görürüz.

Soruda bu sayının rakamlarının oluşturduğu A kümesinin iki elemanlı olduğu ve bu elemanlardan birinin üç olduğu söyleniyor.

Sayımızın baş ve son basamağında beş rakamı bulunduğundan, bu kümenin bilinmeyen elemanı kesinlikle beş olmalıdır. Yani sayıyı yazarken sadece üç ve beş rakamlarını kullanabiliriz.

Sayımızı ve kullanabileceğimiz rakamları tekrardan tahtaya alalım. baş ve son basamakların beş olduğunu bulmuştuk, b ve c basamakları ise sadece üç veya beş olabilir.

Şimdi sayının üçe bölünebilme şartını kontrol edelim. Bildiğin gibi rakamları toplamı üçün katı olmalıdır.

Bu ifadeyi düzenlediğimizde on artı iki b artı c elde ederiz. Bu toplam üçün katı olmalı.