3. Dereceden Polinom Analizi

Merhaba Vedat, bu güzel polinom sorusunu adım adım birlikte çözelim. Soruda baş katsayısı bir olan, üçüncü dereceden bir P polinomu verilmiş.

İlk olarak bize verilen limit ifadesine bakalım. Bu ifade, bildiğimiz gibi P polinomunun sıfır noktasındaki türevinin tanımıdır.

Yani P'nin türevini alıp x yerine sıfır yazdığımızda sonucun ikiye eşit olması gerekiyor.

P'nin türevini aldığımızda sabit terim düşer ve sadece b katsayısı P'nin sıfırdaki türevine eşit olur. Buradan b'nin iki olduğunu anlıyoruz.

Şimdi sorudaki diğer bilgiye, yani köklerin arctanjantları toplamına geçelim.

Eşitliğin her iki tarafının tanjantını alalım. Tanjant pi sıfır olduğu için sağ taraf sıfır olacaktır. Sol tarafta ise üç açının tanjant toplam formülünü kullanalım.

Tanjant toplam formülünde pay kısmı, köklerin toplamı eksi köklerin çarpımıdır. Payda ise bir eksi köklerin ikişerli çarpımları toplamıdır.

Paydadaki ikişerli çarpımlar toplamının b'ye, yani ikiye eşit olduğunu biliyoruz. Payda bir eksi ikiden eksi bir olur; sıfır olmadığı için ifade tanımsız değil. O halde sonucun sıfır olması için pay kısmının sıfır olması gerekir.

Vieta formüllerinden kökler toplamının eksi a'ya, çarpımının ise eksi c'ye eşit olduğunu biliyoruz. O halde eksi a, eksi c'ye eşittir; buradan a'nın c'ye eşit olduğunu buluruz.

Polinomumuzu sadece a bilinmeyeniyle yepyeni ve daha sade bir şekilde yazalım.

Şimdi tahtayı temizleyip bu polinom formumuzla integral bilgimizi kullanalım.

İntegrali terim terim alırsak; x küp x üzeri dört bölü dörde, a x kare a x küp bölü üçe dönüşür.

Sınırları yerine koyalım. Alt sınır olan sıfır yazdığımızda tüm terimler sıfır olur. Sadece üst sınır olan bir yazdığımızdaki değeri hesaplamamız yeterli.