3. Dereceden P(x) Polinomunun Sabit Terimi

Merhaba Ayşegül, gel bu güzel polinom sorusunu birlikte adım adım çözelim. İlk olarak soruda verilen bilgileri inceleyelim.

Polinomun sıfırları, yani kökleri birbirinden farklı pozitif tam sayılarmış. Küçükten büyüğe bu kökleri r bir, r iki ve r üç olarak adlandıralım.

Her bir sıfır, kendisinden bir küçük olanın iki katına eşit olduğuna göre köklerimizi a cinsinden ifade edebiliriz.

Soruda, başkatsayının en küçük sıfıra, yani a değerine eşit olduğu söylenmiş. Bu durumda polinomu genel çarpan formunda yazabiliriz.

Kökleri yerine yazarsak, P x polinomumuz a çarpı, x eksi a, x eksi iki a ve x eksi dört a biçiminde olur.

Şimdi bize verilen, P bir çarpı P üç sıfırdan küçüktür eşitsizliğini kullanalım ve a değerini bulalım.

İlk olarak P bir değerini yazalım. x yerine bir koyduğumuzda bu ifadeyi elde ederiz.

Köklerimizin pozitif tam sayı olduğunu biliyoruz. Eğer a sayısı bire eşit olsaydı, P bir sıfır olurdu ve eşitsizlik sağlanmazdı. Bu yüzden a sayısı birden büyük olmalıdır.

A değeri birden büyük bir tam sayı olduğunda, bir eksi a, bir eksi iki a ve bir eksi dört a terimlerinin her biri negatif olur. Üç negatif terimin çarpımı yine negatiftir. Dolayısıyla P bir her zaman sıfırdan küçüktür.