2017 AYT Polinom Sorusu

Merhaba arkadaşlar. Bugün 2017 yılı AYT sınavında çıkmış, katsayıları ve kökleri üzerine kurulu güzel bir polinom sorusunu birlikte çözeceğiz.

Soruda bize ikinci dereceden bir polinom olduğu söylenmiş. Bu polinomun katsayıları sıfırdan dokuza kadar olan rakamlar kümesinden seçiliyor.

İkinci dereceden genel polinom formumuzu yazalım. a x kare artı b x artı c şeklinde olsun. İkinci dereceden dediği için a katsayısının sıfır olamayacağını hemen not edelim.

Polinomun bir kökünün eksi iki bölü üç olduğu verilmiş. Bu ne demek? Polinomda x yerine eksi iki bölü üç yazarsak sonuç sıfır olmalı.

Şimdi bu değeri polinom denkleminde yerine koyalım.

Eksi iki bölü üçün karesini alırsak dört bölü dokuz elde ederiz. Denklemi düzenleyelim.

Paydadaki dokuzdan kurtulmak için tüm terimleri dokuz ile çarpalım.

Altı b'yi karşıya atarsak, dört a artı dokuz c eşittir altı b denklemini elde ederiz. Bu denklem bizim anahtarımız olacak.

Bulduğumuz denklemi ve katsayı kısıtlarımızı yeniden yazalım. a, b ve c rakam olmalı ve a sıfır olamaz.

Bu denklemi sağlayan değerleri c üzerinden giderek bulalım. Eğer c eşittir sıfır olursa ne olur?

Sadeleştirirsek iki a eşittir üç b olur. Burada a'nın üç bölü iki b olacağını görüyoruz. a'nın tam sayı çıkması için b çift olmalı.