Zuordnung von Funktionsgraphen und Flächeninhalt
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3.6 Gegeben sind die Schaubilder einer Funktion $g$, ihrer Ableitungsfunktion $g'$ und einer Stammfunktion $G$ von $g$.
[Drei Graphen beschriftet mit A, B, C]
Ordnen Sie die Funktionen $g, g'$ und $G$ den Schaubildern zu und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Zuordnung den Inhalt der Fläche, die das Schaubild $C$ auf dem Intervall $[-2; 2]$ mit der Geraden $y = 1$ einschließt. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Drei Koordinatensysteme (A, B, C) mit Graphen auf Karopapier. Graph A zeigt eine fallende Funktion mit mehreren lokalen Extrema. Graph B zeigt eine periodische, sinusähnliche Funktion mit hoher Amplitude (ca. 3 Einheiten) und Nullstellen bei ganzzahligen Werten. Graph C zeigt eine ähnliche periodische Funktion, jedoch mit geringerer Amplitude (ca. 1,5 Einheiten) und phasenverschoben gegenüber B. Alle Graphen haben markierte x-Achsen von -3 bis 3 und y-Achsen von -3 bis 3.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir drei Schaubilder den Funktionen g, g-Strich und der Stammfunktion G zuordnen und anschließend eine Fläche berechnen.
Zuordnung von $g$, $g'$ und $G$
Schauen wir uns zuerst den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung an. Ein Hoch- oder Tiefpunkt einer Funktion entspricht einer Nullstelle der Ableitungsfunktion.
Betrachten wir Schaubild A. Es hat Extremstellen bei circa minus zwei komma fünf, minus eins, eins und zwei komma fünf.
Wenn wir uns jetzt Schaubild B ansehen, entdecken wir genau an diesen Stellen Nullstellen. Das bedeutet, B könnte die Ableitung von A sein.
Prüfen wir weiter. Hat B Extremstellen? Ja, bei minus drei, minus eins komma acht, null, eins komma acht und so weiter.
An diesen Stellen hat Schaubild C Nullstellen. Somit folgt die Kette: A wird abgeleitet zu B, und B wird abgeleitet zu C.
Daraus ergibt sich die Zuordnung: A ist die Stammfunktion G, B ist die Funktion g und C ist die Ableitungsfunktion g-Strich.
Im zweiten Teil sollen wir den Flächeninhalt berechnen, den Schaubild C mit der Geraden y gleich eins auf dem Intervall von minus zwei bis zwei einschließt.
Flächenberechnung
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