Zuordnung von Funktionsgraphen und Flächenberechnung

Herzlich willkommen zu dieser Aufgabe zur Analysis. Wir beginnen mit der Zuordnung der Funktionen groß G, g und g Strich zu den drei Schaubildern A, B und C.

Hierbei stellt g die Ableitung von groß G dar, und g Strich logischerweise die Ableitung von g. Wichtig für die grafische Zuordnung: Die Extremstellen einer Funktion entsprechen immer den Nullstellen ihrer Ableitungsfunktion mit Vorzeichenwechsel.

Schauen wir uns das linke Schaubild A an. Auffällig ist, dass es einen Tiefpunkt bei etwa x gleich eins besitzt. Zudem erkennen wir einen Hochpunkt bei x gleich minus eins.

Schaubild C hat exakt an diesen Stellen Schnittpunkte mit der x-Achse. Beim Tiefpunkt von A geht das Schaubild C von Werten im Minusbereich in den Plusbereich über. Die Steigung von A ändert sich genau dort von negativ zu positiv. Das passt perfekt!

Prüfen wir dasselbe Prinzip nun bei den Schaubildern C und B. Das mittlere Schaubild C hat ein deutliches Minimum bei x gleich null sowie Maxima bei minus zwei und plus zwei.

Tatsächlich finden wir genau an diesen x-Werten die Nullstellen im Schaubild rechts, also bei B. Da auch die Vorzeichenwechsel übereinstimmen, ist bewiesen, dass B die Ableitung von C ist.

Unsere Kette vom reinen Integrieren bis zum zweimaligen Ableiten führt uns also anschaulich von Schaubild A über C zu B.

Damit haben wir den ersten Aufgabenblock gelöst: Das Schaubild A repräsentiert die Stammfunktion G, C ist die gegebene Funktion g, und B ist deren Ableitung g Strich.

Im zweiten Teil wird es rechnerisch. Wir sollen den Flächeninhalt bestimmen, den das Schaubild C auf dem Intervall von minus zwei bis plus zwei mit der Geraden y gleich eins einschließt.

Diesen Inhalt berechnen wir mit einem Integral. Da die Kurve in diesem Bereich stets vollständig unterhalb oder genau auf der Geraden y gleich eins verläuft, können wir einfach die obere Grenze minus die untere Kurve integrieren.