Area Between a Parabola and its Tangent Line
Yayınlanma:
24. Dik koordinat düzleminde $f(x) = x^2 - 16$ fonksiyonu ve bu fonksiyona $x = a$ apsisli noktada teğet olan $y = 4x + k$ doğrusu aşağıda verilmiştir. Buna göre sarı boyalı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir? A) $ rac{25}{6}$ B) $ rac{22}{3}$ C) $ rac{15}{2}$ D) $ rac{32}{3}$ E) $ rac{59}{6}$
Soruda görsel içerik var: A coordinate system shows a parabola $f(x) = x^2 - 16$ opening upwards, with its vertex at $(0, -16)$. A tangent line $y = 4x + k$ touches the parabola at $x=a$. Two distinct regions are highlighted in yellow: one is a small triangular-like area bounded by the parabola, the tangent line, and the y-axis (below the x-axis), and another slightly larger region bounded by the parabola, the tangent line, and the x-axis. The origin is marked with O.
Animasyonlu Video Çözüm
İlk yarısı ücretsiz izlenebilir, tamamı uygulamada.
Adım Adım Yazılı Çözüm
Merhaba Ali, gel bu soruyu birlikte çözelim. Sorumuzda efin x karesi eksi on altı parabolü ile bu parabole x eşittir a noktasında teğet olan ye eşittir dört x artı k doğrusu verilmiş. İlk olarak teğet noktasını ve doğrunun denklemini bulalım.
Teğet Doğrusu ve Kesişim Noktası
Parabolün türevi bize teğet doğrusunun eğimini verir. Fonksiyonun türevini alarak başlayalım.
x kare eksi on altı ifadesinin türevi iki x olur.
Teğet doğrusunun eğimi, doğrunun denklemindeki x in katsayısı olan dörttür. O halde x eşittir a noktasındaki türev dört olmalıdır.
Buradan a değerini iki olarak buluruz.
Şimdi teğet noktasının koordinatlarını bulalım. Bunun için x eşittir iki değerini fonksiyonda yerine yazıyoruz.
İkinin karesi dört, eksi on altıdan, teğet noktasının ordinatını eksi on iki buluruz. Yani teğet noktası ikiye eksi on iki noktasıdır.
Bu nokta teğet doğrusunun da üzerinde olduğundan, doğrunun denklemini sağlamalıdır. Denklemde x yerine iki, ye yerine eksi on iki yazalım.
Eksi on iki eşittir sekiz artı k ise, sekizi karşıya attığımızda k değerini eksi yirmi olarak buluruz.
Böylece teğet doğrumuzun denklemini ye eşittir dört x eksi yirmi olarak elde ederiz.
Şimdi yeni bir slayta geçip sarı boyalı bölgelerin alanlarını hesaplayalım. İlk olarak sınırları belirleyelim.
Sarı Boyalı Bölgelerin Alanı
Grafikteki birinci sarı bölge, ye ekseni yani x eşittir sıfır ile teğet noktası x eşittir iki arasında, parabol ile teğet doğrusunun arasında kalan bölgedir.
Birinci Bölgenin Alanı (A₁)
Parabolün denkleminden doğrunun denklemini çıkardığımızda elde ettiğimiz ifadeyi yazalım.
Çözümün devamı Solvi’de
12 adım daha kilitli. Tamamını animasyonlu ve sesli anlatımla ücretsiz izle.
Fotoğrafını çek, her soruyu böyle çöz.
Çözümün Devamını Ücretsiz İzle
İndirmesi ücretsiz · İlk çözümler hediye
