Zuordnung von Funktionsgraphen und Ableitung
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1.4 Gegeben sind die Abbildungen A, B und C. Sie zeigen die Schaubilder einer Funktion $h$, der Ableitungsfunktion $h'$ von $h$ und einer weiteren Funktion $k$. Begründen Sie, welche Abbildung zum Schaubild von $h$, $h'$ und $k$ gehört.
(3 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Drei Koordinatensysteme (A, B, C) mit Graphen auf Karopapier. Skala der x-Achse von -3 bis 3, y-Achse von -2 bis 6. Graph A: Schneidet x-Achse bei ca. -1 und 2, hat ein lokales Maximum bei -1 und ein lokales Minimum bei ca. 0.5. Graph B: Hat ein lokales Minimum bei ca. x=2, y=2. Verläuft oberhalb der x-Achse. Graph C: Hat Nullstellen bei ca. -1.5 und 2, ein lokales Minimum nahe -1 und ein lokales Maximum bei ca. 1.
Animierte Videolösung
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe analysieren wir drei Abbildungen, um sie den Funktionen h, h-strich und k zuzuordnen. Schauen wir uns die Graphen A, B und C genau an.
Zuordnung von Funktionen und Ableitungen
Ein wichtiger Zusammenhang ist, dass die Ableitung h-strich an den Stellen Nullstellen hat, an denen h Extrempunkte besitzt.
Konzept:
Nullstellen von $h'(x)$ $\Leftrightarrow$ Extremstellen von $h(x)$
Betrachten wir Graph B. Er hat ein lokales Minimum bei etwa x gleich zwei.
Analyse von Graph B
Wenn Graph B die Funktion h ist, dann muss die Ableitungsfunktion h-strich bei x gleich zwei eine Nullstelle haben.
Schauen wir auf Graph A. Tatsächlich kreuzt Graph A die x-Achse genau an der Stelle x gleich zwei. Das passt perfekt zusammen.
Analyse von Graph A
Überprüfen wir das weiter. Graph B steigt für x-Werte größer als zwei an, was bedeutet, dass die Ableitung dort positiv sein muss.
Weitere Überprüfung
| Intervall | Verhalten h | h' (A) |
|---|---|---|
| --- | --- | --- |
| $x > 2$ | steigend | positiv (+) |
| $x < 2$ | fallend | negativ (-) |
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