Zuordnung von Funktionsgraphen (f, f', F)
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Ordnen Sie die Funktionen $g$, $g'$ und $G$ den Schaubildern zu und begründen Sie Ihre Entscheidung.
Bestimmen Sie mit Hilfe Ihrer Zuordnung den Inhalt der Fläche, die das Schaubild C auf dem Intervall $[-2; 2]$ mit der Geraden $y = 1$ einschließt. (6 Punkte)
Diese Aufgabe enthält visuelle Inhalte: Das Bild zeigt drei Koordinatensysteme A, B und C mit Funktionsgraphen auf einem Gitter. Graph A zeigt eine punktsymmetrische Funktion vom Grad 5, die durch den Ursprung fällt. Graph B zeigt eine trigonometrische oder periodische Funktion (ähnlich Sinus, Amplitude 3). Graph C zeigt eine ähnliche wellenförmige Funktion mit lokaler Extrema bei x=-2 und x=2. Alle Graphen haben Achsenmarkierungen von -3 bis 3 auf x und y.
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Schriftliche Lösung Schritt für Schritt
In dieser Aufgabe sollen wir die Graphen A, B und C den Funktionen g, der Ableitung g-strich und der Stammfunktion G zuordnen. Außerdem berechnen wir eine eingeschlossene Fläche.
Zuordnung von $g$, $g'$ und $G$
Wir nutzen den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitung. An einem Extrempunkt einer Funktion muss die Ableitung eine Nullstelle haben.
Betrachten wir Graph A. Er hat Extremstellen bei etwa minus drei, minus eins und plus zwei. Schauen wir auf Graph B: Dort befinden sich an genau diesen Stellen Nullstellen mit Vorzeichenwechsel.
Das bedeutet, Graph B ist die Ableitung von Graph A. Also könnte A die Funktion g sein und B die Ableitung g-strich.
Überprüfen wir nun den Zusammenhang zwischen B und C. Graph B hat Extremstellen bei etwa minus zwei und plus eins. Graph C hat an diesen Stellen Nullstellen.
Daraus folgt, dass C die Ableitung von B ist. In der Hierarchie G, g, g-strich ist C also die am weitesten abgeleitete Funktion.
Zusammenfassend ergibt sich die Kette: A ist die Stammfunktion G, B ist die Funktion g und C ist die Ableitung g-strich.
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